一、 填空题(本大题共5题,每题2分,共10分。

请直接将正确结果填入
各题的空格处)
1. 函数221y x z --=的定义域 ；
2. 由方程z
e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全
微分1
1==y x dz
= ；
3. 变换二重积分
⎰⎰=
=b
a
x
a
I dy y x f dx I 的积分次序后),( ；
4. 将函数()2
cos x x f =展开成x 的幂级数为 ；
5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。

二、 选择题(本大题共5题,每题2分,共10分。

每小题有四个选项,其中
有且只有一个选项正确,请将正确选项的代号字母填入括号内)
6. 在空间解析几何中方程42
2=+y x 表示( )。

A.圆
B.平面
C.圆柱面
D.球面
7. 设函数2
2y x z =,则=∂∂22x
z ( )。

A. 22y
B. xy 4
C. y 4
D. 0
8. 设(){
}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ,则⎰⎰D
dxdy 等于( )。

A.－1
B.1
C.2
D.－2 9. 级数∑
∞
=121
n n
( )。

A. 发散 B.收敛,其和为2 C.收敛,其和为1 D.收
敛,其和为3 10.
下列方程中,( )是二阶线性齐次微分方程。

A.y y dx
y
d ='+22 B.y x y '+=''2)(
C.
y y x y '+=''2
D.
x y y y +'=''2
)( 三、 计算题(本大题共9题,每题7分,共63分。

解答须有主要解题步骤,
说明必要的理由) 11. 设),(v u f z =,y x u 2
=,y
x
v =,求y z x z ∂∂∂∂,。

12. 求函数
12
2++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。

13.
⎰⎰
D
xyd σ,其中D 是由抛物线x y =2
及直线2-=x y 所围成的闭
区域。

14.
计算⎰⎰D
dxdy y 2,其中D 为:412
2≤+≤y x 。

(要求画草图。

提示:
在极坐标下计算) 15.
计算由y x z ++=1,1=+y x ,
0=x ,0=y 及0=z 所
围成立体的体积 16. 判断级数∑∞
=1
2
sin n n n α的敛散性； 17.
求幂级数n
n x n ∑∞
=1
1的收敛区间与和函数。

18. 求解微分方程xy x y -='1。

19.
求微分方程x x x y y sin =+
'满足π
π22=⎪⎭⎫ ⎝⎛y 的特解。

四、 应用题(本大题共1题,共10分。

解答须有主要解题步骤,说明必要
的理由)
20. 设生产某产品z 个单位时,需投入甲原料x 个单位,乙原料y 个单位,且它们的关系是:y y x x z 52102022+-+-=,又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1,而产品的售价为5,试求x 、y 取何值时,利润最大？
五、 证明题(本大题共1题,共7分。

解答须有主要解题步骤,说明必要的
理由)
21. 试证:如果()x ϕ是Ay y ='满足初始条件ηϕ=)(0x 的解,那么())(0
x x A e x -=ηϕ。

试卷A 解答及评分标准
一、 填空题 1. 122≤+y x 2. dy dx + 3. dx y x f dy b
y b a ⎰⎰),(
4. ()()()∑∞
=⋅-+1
2!22211n n n
n x 5.
x e C C y 21+=
二、 选择题 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A 三、 计算题 11. 解:
xy x
u
2=∂∂,2x y u =∂∂,y x v 1=∂∂,
2y
x
y v -=∂∂
v f y u f xy x z ∂∂+∂∂=∂∂12,v f y x u f x y
z
∂∂-∂∂=∂∂22。

12. 解:设)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='03020
2y x F y F x F y x λ
λλ,得驻点为 23=x ,23
=y 极小值是:
2
11
13. 解:得出曲线的交点1-=y ,2=y 1分
原式dx xy dy -y y ⎰⎰+=212
2
=ydy x y y ⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2
12
222[]
d y y y y ⎰--+=2152)2(2185
5=
积分区域图形正确,加1分 14. 解:令⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x ,则
原式⎰⎰=D
rdrd r θθ22sin
dr r d ⎰⎰=2
1
320
2sin πθθ
πθθπ
4
15
4
22cos 12
1
4
20
=
⋅-=⎰
r d 15. 解:()()⎰⎰⎰⎰-++=++=1
0101dxdy 1y
D
dx y x dy y x V
dy yx x x y ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1
010221⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1022123dy y y 6561212
3
1
032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y y 16. 解:221
sin n n n ≤α
因为
∑∞
=121n n
收敛 , 所以 ∑
∞
=1
2sin n n n α 收敛。

17. 解:幂级数的收敛半径为11
lim lim 1=+==∞→+∞
→n
n a a R n n n n 所以,幂级数的收敛区间为()1,1-。

设幂级数的和函数为)(x S ,()1,1-∈x 。

dx x x n x S x n n n n ⎰∑∑⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∞=-∞
=01111)(＝)1ln(110x dx t x --=-=⎰,()1,1-∈x 18. 解:把方程写为dx x ydy ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=11,两边求不定积分,得 C x x y +-=ln 2
12
或者写为通解的形式C x x y 22ln 2+-±=
19. 解:()()x
x
x q x x p sin ,1==
,
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-
C dx e x x e y dx
x dx x 1
1sin ()
()C x x C xdx x y +-=+=
⎰cos 1sin 1,()x x
y cos 11
-= 四、 应用题
20. 解:利润函数为()()y y x x y x z y x L 241048510025,22+-+-=+-=
令 ⎩⎨⎧=+-='=+-='024*******y L x L y
x
,得驻点2.1,8.4==y x ,
对()2.1,8.4,20,0,10-=''=-=''yy yy xx
L Lx L 。

知2.1,8.4==y x 时,利润最大。

五、 证明题
21. 证明: 设()x ϕ的形式为()Ax Ce x =ϕ (1) 其中C 为待定的常数
则由初始条件得0
)(0Ax Ce x ==ϕη
所以,()
00
1
Ax Ax
e e C --==ηη
代入(1)得())(00
x x A Ax Ax e e e x --==ηηϕ,命题得证。