数学悖论默认分类2010-05-20 10:20:02 阅读20 评论0 字号：大中小订阅数学的基础是什么？1. 定义2. 公理3. 逻辑首先说公理的陈述，这就是一个很麻烦的事情。

在你的公理中一定会有很多名词，比如点，线，等等，因此似乎需要先定义这些最基本的名词。

但当你尝试作这样的定义的时候，你会发现你还是无从下手，无论你怎么定义它们，你都会引入其它未定义的名词。

其实在逻辑上，对最基本的名词的定义就是不可能的事情。

我们采用的办法就是使用未经定义的最基本的名词来陈述公理，在公理中同时也就给出了这些对象的属性。

再说逻辑，比如最基本，最有名的三段论。

大前提：人都会死。

小前提：亚里士多德是人。

结论：亚里士多德会死。

粗看，我们得到这个结论一点问题都没有。

但你仔细想想，是什么原因我们可以使用这样的推导？我们采用这样的方法进行推导就一定不会出现问题吗？能否证明这样的推导过程就一定是正确的？其实这是一个没有办法证明的问题。

但我们的实践经验告诉我们这样的推导是不会有问题的，是正确的。

因此我们也同样采用公理的方法确定下来三段论的逻辑推导方法是正确的。

在逻辑上，这样的例子还有很多。

由此，可以看出，数学的基础就是公理。

数学只是公理集之上的推导和演绎。

推导和演绎的基础仍然是公理。

“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。

”——N·布尔巴基一、悖论的历史与悖论的定义悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。

“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。

在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。

公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。

在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。

在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。

在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。

在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。

这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。

尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。

在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。

特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。

悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种，如“悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出¬B真,亦即可推出B假。

若假定¬B真，即B假，又可推导出B真”。

又如“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。

”再如“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。

”上述各种悖论定义，都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。

从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规X中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规X中得到克服，这是悖论的广义定义。

悖论有其存在的客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。

不仅在语义学、形式逻辑和数理逻辑等领域出现悖论，而且在物理学、天文学、系统论和哲学等领域也经常出现悖论。

悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。

悖论常常以逻辑推理为手段，深入到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。

科学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。

我国著名数学家徐利治教授指出：“产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论。

”所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实，因而要求看问题的思想方法发生转换，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，思维矛盾特别尖锐，就以悖论的形式表现出来。

二、数学悖论与数学史上的三次危机数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规X中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规X中得到解决。

数学中有许多著名的悖论，除前面提到的伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。

数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。

这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。

数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的，下面作以简要的分析。

毕达哥拉斯学派主X“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。

这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。

希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。

在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规X，希帕索斯发现的无理数，暴露了原有数学规X的局限性。

由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。

希帕索斯的发现，促使人们进一步去认识和理解无理数。

但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之一几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。

当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘作法，对数学的发展也产生了不利的影响。

希帕索斯的发现，说明直觉和经验不一定靠得住，而推理和证明才是可靠的，这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。

十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。

但是，当时的微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析后来证明是包含逻辑矛盾的。

1734年，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。

其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之XX的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书，对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。

他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。

在数学史上，称之为“贝克莱悖论”。

这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。

贝克莱攻击“无穷小”，其目的是为XX神学作论证，而作为“贝克莱悖论”本身，则是一个思想方法问题。

因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，不能在同一思维过程中既承认不等于零，又承认等于零。

但是，事物的运动以其终点为极限，运动的结果在量上等于零，而在起点上则不等于零，这是事物运动的两个方面，不应纳入同一思维过程，如果把它们机械地联结起来，必然会导致思维中的悖论。

贝克莱悖论产生的原因在于无穷小量的辨证性与数学方法的形式特性的矛盾。

第二次数学危机的产物——分析基础理论的严密化与集合论的创立。

“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。

法国数学家柯西是数学分析的集大成者，通过《分析教程》（1821）、《无穷小计算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作，柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系。

但柯西的体系仍有尚待改进之处。

比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。

法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“ε—δ”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。

“ε—δ”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。

为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。

1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数；等等。

这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。

魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在本世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。

但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。

经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。

看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。

法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。

然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。