用加号把这些数依次连接起来所得的式子
u1 u2 u3 L un L
这仅是一种形 式上的相加。
称为无穷级数或数项级数，简称级数。
记为： un或 uk
n 1
k 1
引入一个新的数列
s1 u1 s2 u2 u2 s3 u1 u2 u3 L
n
sn u1 u2 L un uk k 1
的项第二项依次按 1, 2, 4,8,L , 2k1 项组合起来，
便得
sn
1
1 2
1 3
说明：
这是一个基本定理，后面的判别法大都由此证明。
例例11:
证明
“
p
级数”
n1
1 np
1 1 2p
1 3p
L
1 np
L
当 p > 1 时收敛，当 p ≤ 1 时发散。
证明：
先证明 p = 1 时级数发散。由定理10.5，只需证明
部分和数列无上界。对任意正整数 n( 2) ，都有
正整数 k，使 2k n 2k1 , 这时把部分和数列
1 (11) (11) (11) L
则其“和”为1, “和”只能一个，矛盾 。
§2 数项级数的收敛性及其基本性质
无穷项函数相加，对每一个固定的 x，每一项便变成 一个数，因此，我们从无穷个数相加谈起，这种级 数称为数项级数，或简称为无穷级数。
定义 设有数列：u1, u2 , u3 ,L , un ,L
第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
非初等函数的表示 微分方程的解
一些数学问题和实际问题经常用到：无穷多个函数相
加或无穷多个数相加。
例1.微分方程 xy y xy 0 的解？ y 0 和 y an xn n 1
例2. 1 x x2 x3 L xn L
例3. sin x sin 2x sin 3x L sin nx L
11
1 e
e 11 L
2! 3! n! (n 1)!
其中 0 < θ < 1，由 0 e 3 知
(n 1)! n 1
e
lim
0
n (n 1)!
故 e 11 1 1 L 1
2! 3!
n0 n!
这样就把 e 用一个无穷级数表示出来。
二、数项级数的性质
定理10.1
若级数 un收敛，c为任意常数，则级数
sn 称为级数的前n项部分和（简称部分和）
sn 称为级数的部分和数列。
一、数项级数的收敛
定义10.1
若级数
uk
的部分和数列
sn
有极限存
k 1
在（设为S），则称级数 uk 收敛 。
k 1
S称为级数的和，记作： uk
k 1
此时也称级数 uk 收敛到S。若部分和数列 k 1
sn
没有极限存在，则称该数列发散，此时它没有和。
讨论级数 ln(1 1 ) 的收敛性。
n 1
n
解：前n项部分和sn来自n k 1ln(1
1) k
n k 1
ln
k 1 ln k
ln n 1 (n )
因此，级数 ln(1 1 ) 发散。
n 1
n
例3 （几何级数）讨论几何级数
ar n1 a ar ar 2 L ar n1 L (a 0)
其中：u1 a1 un an an1(n 1)
§3 正项级数
最简单的级数
正项级数。
定义10.2 若级数的每一项都是非负的，则称此级数 为正项级数。
正项级数收敛的必要条件
定理10.5 正项级数 un 收敛的充要条件是： n 1 部分和数列sn 有上界。
证明：必要性. 按定义，级数 un 收敛，部分和数列 n 1 有极限存在，因此有上界。 充分性。由 un 0 知部分和数列 sn 单调上升， 它有上界则必有极限存在，因此级数收敛。
n1
的收敛性，其中 r 为公比。
解：当 r 1时，级数的前n项和为
sn a ar L
arn1 a 1 rn 1 r
当 r 1时，有
lim
n
sn
lim
n
1
a
r
ar 2 1 r
a 1 r
此时级数收敛，其和为
a 1 r
即
a ar L arn1 L a 1 r
这是中学学习过的。
n 1
cun 也收敛，且 cun cun.
n1
n1
n1
定理10.2
若级数 un , vn 收敛，则级数 un vn
n 1
n 1
n1
也收敛，且 un vn un vn
n1
n1
n1
定理10.3 任意改变级数有限项的数值， 不改变级数的收敛性。
定理10.4
(收敛的必要条件) 若级数 un 收敛，则一般 n 1
当| r |>1时,
当
r
=
由lim r n
n
1时，
1
r
, 知sn
,级数发散。
当 r = -1时sn ， na (当n ),级数发散。
s1 a, s2 0, s3 a, s4 0,L ,
当a≠0时，极限不存在，这是因为
lim
k
s2k
0,
lim
k
s2k 1
a
两个子数列的极限不相等。因此级数发散。
例1
讨论级数
n 1
1 n(n 1)
的收敛性。
解：前n项部分和为
sn
1 1 L 12 23
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
L
1 n
1 n 1
1
n
1
1
因为
lim
n
sn
所以级数
lim(1 1 ) 1 n n 1 1 收敛，其和为1，即
n1 n(n 1)
1
1
n1 n(n 1)
例2
23
n
问题：
1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？
2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算 规律与“有限和”有什么异同？
历史上：
很多是“形式运算”，后来由于应用的深入 和广泛，形式运算常出现矛盾：
例：无穷项相加
111111L
若把它写成
(11) (11) (11) L
则其“和”为0， 若把它写成
项趋向于0，即
lim
n
un
0
说明：
1）用其逆否命题：若
lim
n
un
0，则
un 发散。判断
n 1
级数的发散性。 例： 1n1,
n
n1
n1 n 1
2）lim n
un
0
是必要条件，而不是充分条件：前面例子。
3）最后：级数和数列的关系：
级数 un n 1
级数 un n 1
部分和数列 sn
数列 an
特别地，当 a = 1 时级数就是
1111L 1 n1 n1
这是10.1中讨论过的级数，它发散，因此没有和。故
说它的和即等于1又等于0的推理，前提是不正确的。
综合起来，对几何级数 arn1 得到的结论是： n 1
当| r | < 1 时,时收敛，当 | r |≥1时, 发散。
例例44 在§8.1，我们曾得到公式