专题12 一元二次方程考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：20(0)ax bx c a++=≠。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤【答案】B【详解】①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B.2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26【答案】C 【详解】观察表格可知ax 2+bx+c 的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x 的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是3.24＜x ＜3.25； 故选C.3．（2019·广东中考模拟）方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．3、2、5 B ．2、3、5 C ．2、﹣3、﹣5 D ．﹣2、3、5 【答案】C【详解】2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5. 故选C.4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++=C ．()()121x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C 【详解】A. 是分式方程，故此选项错误；B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；C. 是一元二次方程，故此选项正确；D. 是二元二次方程，故此选项错误； 故选：C.5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．x ﹣1=0 B ．x 2+3x ﹣5=0C ．x 3+x=3D ．ax 2+bx+c=0【答案】B 【详解】A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B.考查题型一 应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（2019·吉林中考模拟）若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.【答案】A 【详解】由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：A ．2．（2019·四川中考模拟）若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．±2【答案】C 【详解】由题意得：222,20a a -=-≠ ，解得：a=-2.故选C.3．（2017·重庆中考模拟）若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．–1【答案】D 【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.4．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 等于（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【详解】根据一元二次方程的相关概念可知，m -1≠0，2320m m -+=，解得：m=2. 故选：B.考查题型二 一元二次方程的根的应用方法1．（2019·四川中考模拟）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】D 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2, 故选D.2．（2019·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y ＝0是关于y 的一元二次方程（m ﹣1）y 2+my+4m 2﹣4＝0的一个根，那么m 的值是（ ） A ．0 B ．±1C ．1D ．﹣1【答案】D 【详解】把y=0代入（m -1）y 2+my+4m 2-4=0得： 4m 2-4=0，即m 2-1=0 解得：m 1=1，m 2=-1当m=1时，关于y 的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程， 所以m=-1． 故选D ．3．（2018·河北中考模拟）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ） A ．9 B ．3 C ．0 D ．﹣3【答案】D 【详解】∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2， ∴()()22260a b ⨯-+⨯-+=， 化简，得 2a −b +3=0， ∴2a −b =−3， ∴6a −3b =−9， ∴6a −3b +6=−9+6=−3， 故选D.知识点2：解一元二次方程（重点） 方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤 ➢ 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ➢ 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；➢ 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式； 【注意】：1）当0n <时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” ➢ 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=【答案】D 【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=， 故选D.2.．（2018·浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣1=0时，下列变形正确的是（ ） A ．（x ﹣3）2=1 B ．（x ﹣3）2=10 C ．（x+3）2=1 D ．（x+3）2=10 【答案】B 【详解】 x 2﹣6x ﹣1=0方程移项得：x 2-6x=1，配方得：x 2-6x+9=10，即（x -3）2=10， 故选：B ．3.．（2015·湖北中考真题）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x ﹣6）2=﹣4+36 B ．（x ﹣6）2=4+36 C ．（x ﹣3）2=﹣4+9 D ．（x ﹣3）2=4+9【答案】D 【详解】 x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9， （x ﹣3）2=4+9， 故选D.方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=【注意】1)若b ≥0，方程有两个实数根。

（若b >0，方程有两个不相等的实数根；若b =0，方程有两个相等的实数根） 2)若b<0，方程无解。

1．（2019·江苏中考模拟）一元二次方程(1)(3)25x x x +-=-根的情况是（ ）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【详解】（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1＞3，x2=2根，且有一根大于3．故选D．max,a b表示其中较大的数，则方程2．（2019·四川中考模拟）对于两个实数a，b，用()()⨯-=+的解是（）x x x xmax,21A．1，1+B．1，1C．1-，1+D．1-，1【答案】C【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数，∴当x＞0时，max（x，-x）=x，方程为x2=2x+1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2，∴x-，∴∴x＞0，∴；当x＜0时，max（x，-x）=-x．方程为-x2=2x+1x2+2x+1=0，（x+1）2=0，∴x=-1，故方程x×max （x ，-x ）=2x+1的解是-1， 故选C ．3．（2018·福建中考模拟）设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A ．-1＜α＜β＜3 B ．α＜-1且β＞3 C ．α＜-1＜β＜3 D ．-1＜α＜3＜β【答案】B 【详解】x 2-2x -3=m ，（x －1）2=4+m ，∴x －x∵m ＞02，∴α= 11，3，故α＜-1且β＞3．故选B ． 方法三：公式法（常用解法）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-⏹ 0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=（240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点 ⏹ 0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 ⏹0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点用公式法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：➢ 把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ➢ 求出b 2-4ac 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;➢ 如果b 2-4ac≥0, 将a 、b 、c 的值代入求根公式：2b x a-=➢ 最后求出x 1，x 21．（2019·广西中考模拟）关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠【答案】A【详解】当a=5时，原方程变形为-4x -1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a -5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1． 故选A ．2．（2019·福建中考模拟）不解方程，判别方程2x 2﹣3x ＝3的根的情况( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【答案】B 【详解】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B3．（2019·新疆中考模拟）已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．±B ．C ．2或3D【答案】A 【详解】∵方程2230x kx -+=有两个相等的实根， ∴△=k 2-4×2×3=k 2-24=0，解得：k=± 故选：A ．考查题型三 一元二次方程根的判别式的应用方法1．（2019·河南中考模拟）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +3＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤43且k ≠1 B ．k ≤43C ．k ＜43且k ≠1 D ．k ＜43【答案】A 【详解】解：根据题意得()104430kk ≠∆⨯≥﹣且＝﹣﹣1， 解得43k ≤，所以k 的范围为413k k ≤≠且．故选：A ．2．（2015·四川中考真题）方程(m −2)x 2−√3−mx +14=0有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ．m >52 B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠2【答案】B 【详解】 解：根据题意得 m −2≠0， 3−m ≥0，Δ=(−√3−m)2−4(m −2)×14≥0，解得m ≤52且m ≠2． 故选B ．3．（2019·安徽中考模拟）若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤1【答案】D 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k+8≥0， 解得：k≤1． 故选：D ．4．（2018·广东中考模拟）关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >且1m ≠ B ．0m > C ．0m ≥且1m ≠ D ．0m ≥【答案】A 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣（m ﹣1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m ﹣1）]=4m＞0，∴m ＞0． 故选B ．5．（2019·湖北中考模拟）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．94m <B ．94mC ．94m >D ．94m【答案】A 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×1×m ＞0， ∴m ＜94， 故选A ．方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤： ➢ 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ➢ 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ➢ 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ➢ 求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解1．（2019·湖州市南浔区南浔锦绣实验学校中考模拟）若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4【答案】C 【详解】∵x=-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a+4）（a -1）=0，解得 a 1=-4，a 2=1． 即a 的值是1或-4． 故选A ．2．（2019·长沙市南雅中学中考模拟）三角形两边长分别为4和6，第三边是方程x 2﹣13x +36＝0的根，则三角形的周长为（ ） A ．14 B ．18C ．19D ．14或19【答案】D 【详解】解：（x ﹣4）（x ﹣9）＝0， x ﹣4＝0或x ﹣9＝0， 所以x 1＝4，x 2＝9，即三角形的第三边长为4或9，所以三角形的周长为4+6+4＝14或4+6+9＝19． 故选：D ．3．（2013·宁夏中考真题）一元二次方程()x x 22x -=-的根是 A ．﹣1 B ．2C ．1和2D ．﹣1和2【答案】D 【详解】()x x 22x -=-⇒ ()()x x 2x 20-+-=⇒()()x 2x 10-+=⇒x 20x 10-=+=⇒或12x 2x 1==-，,故选D.4．（2018·四川中考模拟）已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．11或13C ．11D ．12【答案】B 【详解】 x 2-8x+15=0，分解因式得：（x -3）（x -5）=0， 可得x -3=0或x -5=0， 解得：x 1=3，x 2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC 的周长为11或13． 故选B.方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0（a ≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝ca考查题型四 一元二次方程根与系数关系的应用1．（2017·湖北中考模拟）已知mn≠1，且5m 2+2010m+9=0，9n 2+2010n+5=0，则mn的值为（ ） A ．﹣402 B ．59C ．95D ．6703【答案】C 【详解】将9n 2+2010n+5=0方程两边同除以n 2，变形得：5×（1n ）2+2010×1n+9=0，,又5m 2+2010m+9=0， ∴m 与1n 为方程5x 2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1n =m n =95．故选：C2．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D 【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根，∴x 12﹣3x 1+1＝0， ∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3， 根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1， ∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D ．3．（2017·广东中考模拟）关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5 B ．1C ．5D ．-1【答案】D 【详解】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=， ∴2450a a --=， ∴15a =，21a =-，280a a =-≥，∴1a =-.故选：D .4.（2019·湖北中考真题）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（ ） A ．74B ．75C ．76D ．0【答案】A 【详解】 解：∵x 1+x 2=4，∴x 1+3x 2=x 1+x 2+2x 2=4+2x 2=5， ∴x 2=12，把x 2=12代入x 2-4x+m=0得：（12）2-4×12+m=0， 解得：m=74，故选：A ．5．（2019·广州市第六十五中学中考模拟）已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（ ） A ．-7 B ．0C ．7D ．11【答案】D 【详解】解：由题意得：2290a a +-=，则29a a a +=-，()()2999211a a b a b a b +-=--=-+=--=，故选择D.知识点4： 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： ➢ “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ➢ “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；➢ “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。