4
1、空间问题：
金
属
塑
性 方程数：
成
形 3个平衡微分方程
原 理
1个塑性条件方程
6个应力—应变关系方程
3个变形连续方程（协调方程）
第
六 共13个 ，且为高阶偏微分方程。
章 主
未知数：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx、εx、εy、εz、
应 力
γxy、γyz、γzx、λ13个。
法
虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方
自由表面
ye 2K
2S 3
y
2
h
( xe
x)
ye
2
h
( xe
x)
2S 3
17
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
xe 0
y
dx
1 xe
xe 0
2
h
( xe
x)
ye
dx
程是无法解的，需要将问题进一步简化。
5
2、轴对称问题：
方程数：
2个微分平衡 1个塑性条件 4个应力—应变关系 2个变形连续方程。共9个
未知数：σρ、σθ、σz、τzρ、ερ、εθ、εz、γzρ、λ9个。
可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况 下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。
y x 2K
微分后得： d y d x … … … … … …(2) 15
3、联解平衡方程和塑性条件
将（2）代入（1）
d x 2 0
dx h
得
d y
2
h
dx
积分后得
y
2
h
xC
16
4、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量σy
∵当 ∴
x xe 时
y ye
C
ye
2
h
xe
这时 x 0
块的静力平衡条件得到。
10
（3）采用近似的屈服准则
建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触 面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响 。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似 屈服准则。 对于平面应变问题，塑性条件:
( x y )2 4 xy2 4K 2
可简化为σx-σy =σs=2K
属 塑 性
成 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：
形 பைடு நூலகம் 理
平面应变：
镦粗
第
六
挤压
章
主
轴对称问题：
应
力 法
镦粗
挤压
13
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l＞＞h，xe， 故l方向变形为0，因此可视为平面问题来处理。
1、列基元体平衡微分方程
Fx 0
8
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题
根据实际变形区情况，将复杂问 题近似地按轴对称问题或平面问题 来处理，并选用相应的坐标系。对 于变形复杂的过程。 如模锻，可 以分成若干部分，每一部分分别按 平面问题或轴对称问题处理，最后 组合在一起，得到整个问题的解。
11
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1、 σ3 。
这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来的 非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近似
屈服准则联解，以求接触面
上的应力分布，这就是主应
力法。
由于该方法需要截取基元
块，又形象地称为切块法。
12
金 二、几种金属流动类型变形力公式的推导
这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法
。主要用于程上 。
7
第二节 主应力法的基本原理（切块法）
一．主应力法的实质
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。
9
（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向，
截取包括接触平面在内的典型基元
块，在接触面上有正应力和切应力
（摩擦力），且假设在其他截面（
非接触面）上仅有均布的正应力即
主应力。
这样处理的结果使平衡方程缩减至
一个，而且由偏微分方程变为常微
分方程。该平衡方程可以通过基元
第六章 主应力法及其应用（切块法）
第一节 概 述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模 具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应 力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根 本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可 计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接 触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时， 坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用 力称为变形力。
( x d x ) h l h l 2 l dx 0
d xh 2dx 0
∴
d x 2 0 … … … …(1)
dx h 14
平衡微分方程
2、建立塑性条件 y x 这时σy、σx为正值，即绝对值 由于σx，σy都是压力，故 σ1=-σx, σ3=-σy ∴σ1-σ3=σy-σx
变形力
2
确定变形力的目的：
①可分析变形规律，确定成形极限； ②合理设计模具； ③选择锻压设备； ④制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任
务之一。
3
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹 性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变关系方 程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准 则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界 条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变 形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解， 而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。
1 xe
2
h
xe x
xe 0
2
h
1 2
x2
xe 0
ye
x
xe 0
1 xe
2xe 2
h
xe
h
2
ye
xe
xe
h
ye
18
分析σy沿X方向分布规律
y
2
h
( xe
x)
ye
6
3、平面问题：
方程数：2个微分平衡，1个塑性条件共3个。 未知数：σx、σy、σz、τxy 3个
属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下， 即边界剪应力条件特殊时，（等于0，或只与一个坐标轴有关时） 才有精确的解。
因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化
假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。