整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx=，求6155m x -的值．【思路点拨】由于已知2mx 的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()m x，再代入计算．【答案与解析】 解：∵25mx=，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例1】【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。

【答案】解：（1）<<b a c ； （2）3010203279=<提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3. 类型二、整式的乘除法运算2、（•杭州模拟）已知代数式（mx 2+2mx ﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m ，n 的值，并求出一次项系数．【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答． 【答案与解析】解：（mx 2+2mx ﹣1）（x m+3nx+2）=mx m+2+3mnx 3+2mx 2+2mx m+1+6mnx 2+4mx ﹣x m﹣3nx ﹣2，因为该多项式是四次多项式， 所以m+2=4， 解得：m=2，原式=2x 4+（6n+4）x 3+（3+12n ）x 2+（8﹣3n ）x ﹣2 ∵多项式不含二次项， ∴3+12n=0， 解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8+34=354． 【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答． 举一反三：【变式】若()13x m x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的乘积中不含x 的一次项，则m 等于______． 【答案】13-； 类型三、乘法公式3、计算：(1)()()a b c d a b c d -+---+；(2)()()231235x y x y ----+． 【思路点拨】（1）中可以将两因式变成a b -与c d -的和差.（2）中可将两因式变成23y -与23x -的和差. 【答案与解析】解：(1)原式22[()()][()()]()()a b c d a b c d a b c d =-+----=---222222a ab b c cd d =-+-+-．(2)原式[(23)(23)][(23)(23)]y x y x =-+---- ()()222323y x =--- 229412125y x y x =--+-.【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果． 举一反三：【变式】计算：2483(21)(21)(21)1++++． 【答案】解：24822483(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1++++=-++++448(21)(21)(21)1=-+++881616(21)(21)12112=-++=-+=．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+=()()()2221230x y z -+++-=所以1,2,3x y z ==-= 所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案. 举一反三：【变式1】如果22462130x x y y z -+++++=，则()zxy 的值为 .【答案】解：∵22462130x x y y z -+++++=，∴()()222320x y z -++++=，解得232x ,y ,z ==-=- ∴()()21636zxy -=-=. 【变式2】（春•祁阳县期末）课堂上老师指出：若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由． 【答案】 解：依题意得：所以（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2=0 所以a=b ，b=c ，c=a ． 故△ABC 是等边三角形．5、求证：无论x y ，为何有理数，多项式222616x y x y +-++的值恒为正数． 【答案与解析】解：原式＝()()221360x y -+++>所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负. 举一反三：【变式】证明:不论,a b 为何值 , 多项式2222354a b a b ab -----的值一定小于0.【答案】证明：2222354a b a b ab ----- ＝ 2222[(1)(2)4]4a b ab a b ab -++++++ ＝()22(1)42ab a b -+-+- ∵ 0)12(2≥+ab ,()02≥+b a∴2(1)02ab -+≤, ()20a b -+≤∴ 原式一定小于0. 类型四、因式分解6、分解因式：（1）()()222222x x----（2）()2224420x xx x +---（3）2244634a ab b a b -+-+-【答案与解析】解：（1）原式()()()()()()2222212211x xx x x x =---+=+-+-（2）原式＝()()()222224(4)204544x xx x x x x x +-+-=+-++()()()2512x x x =+-+（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+ 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.【巩固练习】 一.选择题1．（•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（ ）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定 3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（ ）A ．2(4)(2)x x +- B ．2(4)(1)x x x +++ C ．2(4)(2)x x ++ D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件( )．A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大5．化简222222(53)2(53)(52)(52)x x x x x x x x ++-+++-++-的结果是（ ）A ．101x +B ．25C ．22101x x ++ D ．以上都不对 6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( )①； ②； ③； ④；⑤； ⑥A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7. 下列各式中正确的有（ ）个：①a b b a -=-；② ()()22a b b a -=-； ③()()22a b b a -=--；④()()33a b b a -=--；⑤()()()()a b a b a b a b +-=---+；⑥ ()()22a b a b +=-- A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）A. 3223()()x x y xy y -+-+ B. 3223()()x xy x y y -+-+ C. 3322()()x y x y xy ++-- D. 3223()x x y xy y --+ 二.填空题9.（·富顺县校级模拟）若()2419a k a --+是一个关于a 的完全平方式，则k = ．10.若21=+m x ，34=+my ，则用含x 的代数式表示y 为______．11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝ ． 12．若230x y <，化简|)(21|276y x xy --⋅-＝_________． 13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________. 14. 设实数x ，y 满足2214202x y xy y ++--=，则x ＝_________，y ＝__________. 15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝ ．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________.三.解答题17.（春•禅城区校级期末）请你说明：当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除． 18.（春·工业园区期中）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为 ；（2）观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系 ； （3）根据（2）中的结论，若5x y +=，94xy =，则x y -= ； （4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3，你有什么发现？ . 19.计算).1011()911()411()311()211(22222-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程： 解：设y x x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步） ＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y （第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解. 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】解：∵a+b=3，ab=2， ∴a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab =32﹣2×2 =5， 故选C.2. 【答案】C ；【解析】()()()222222a ac c b a c b a c b a c b -+-=--=-+--，因为a b c 、、为三角形三边长，所以0,0a b c a b c +->--<，所以原式小于零.3. 【答案】A【解析】代入答案检验. 4. 【答案】B ；【解析】由题意00a b ab +><，，所以选B. 5. 【答案】B ；【解析】原式＝()22225352525x x x x ++--+==.6. 【答案】C ；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式1x -. 7. 【答案】D ；【解析】②④⑤⑥正确. 8. 【答案】D ；【解析】A 、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x y +，所以分组合理，D 第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9. 【答案】13或-11；【解析】解：∵()2419a k a --+是一个关于a 的完全平方式，∴112k -=±， ∴k =13或-11，故答案为：13或-11．10.【答案】224y x x =-+【解析】∵21=-mx ，∴222234323(2)3(1)24=+=+=+=+-=-+mmm y x x x .11.【答案】－3；【解析】()()22222610130,1,3m m n n m n m n ++-+=++-==-=.12.【答案】78x y【解析】因为230x y <，所以0y <，原式＝676778112||222xy x y xy x y x y ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 13.【答案】－6；【解析】由题意，当12x =-时，322130x x x k --+=，解得k ＝－6. 14.【答案】2；4；【解析】等式两边同乘以4，得：224216480x y xy y ++--=222448160x xy y y y -++-+=()()22240x y y -+-=∴2,4,x y y ==∴ 2x =.15.【答案】39；【解析】原式＝()()()2224353439ab a b ab a b ab ⎡⎤-=+-=⨯-⨯=⎣⎦.16.【答案】()()()()1122x x x x +-+-；()()2a m a m -+；【解析】()()()()()()422254141122x x x x x x x x -+=--=+-+-；()()332222a m a m am a a m m a m +--=---()()()()222a m a m a m a m =--=-+.三.解答题 17.【解析】解：原式=（n+7+n ﹣5）（n+7﹣n+5）=24（n+1），则当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除． 18.【解析】解：（1）阴影部分的边长为()b a -，所以阴影部分的面积为()2b a -，故答案为：()2b a -；（2）()()224a b a b ab +--=，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）∵()()224x y x y xy +--=，5x y +=，94xy =， ∴()229544x y --=⨯， ∴()216x y -=∴4x y -=±；（4）边长为()a b +与()3a b +的矩形面积为()a b +()3a b +，它由3个边长为a 的正方形、4个边长为a b 、的矩形和一个边长为b 的正方形组成，∴()a b +()3a b +=2234a ab b ++． 19.【解析】 解：原式＝11111111111111112233441010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭...... 314253119 (2233441010)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1120=. 20.【解析】解：（1）C ；（2）不彻底；()42x -；（3）设22x x y -=，原式＝()22121y y y y ++=++ ()()()22421211y x x x =+=-+=-.。