2
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2) 在 x时的渐进性质
Hv(1)(x)
2eixv24 x
3 ox2

Hv(2)(x) 2xeixv24ox3 2
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5.4.6 整数阶的贝赛尔函数
当 v n（整数）时有
Jnx1nJnx
Jnx1nJnx
母函数
e J 2xt1t
k
x tk
k
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从母函数还可以推出下列两个重要的形式
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5.4.1贝塞尔函数的零点
m=0
J m (x)
m=1
1.0
m=2 m=3
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Yn(x)
n=0 n=1
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关于 J v ( x ) 的零点及其分布的以下结论：
v 1) 对任意给定的实数 ，J v ( x ) 有无穷多个零点；且当
Yv1(x)Yv1(x)2xvYv(x)
均满足贝赛尔方程
Y v 1(x) Y v 1(x)2 Y v (x)
也适用于第Ⅲ类贝赛尔函数
柱函数 Z v ( x )
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5.4.4贝赛尔函数的正交性
设
, , (v) (v) 12

2 sin x x
J1 2
x 1k
k0 k!
1
z2k12
k122

2 cos x x
更一般地
Jn1x1n 2
2xxn1xd dxn sin xx
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I0(x)
Im (x)
K m(x)
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5.4.3贝塞尔函数的递推关系式
1） J v ( x ) 的递推关系式
xvJv(x) xvJv1(x)
xvJv(x)xvJv1(x)
,
, (v)
n
为 J v ( x 的) 正零点，则当
v 1时，贝赛尔函数系
Jv(n(v)x)
n1
在区间
[ 0 , 1 上] 关于权函数 (x) x正交
0 (mn)
1
0xJv(
m (v)x)Jv(
n (v)x)dx 1 2Jv21(
) (v)
1）平面波的驻波展开式

eixcos ninJnxcosn n0
01, n2 n0,1,2,
eikrcost kikJk krcoskeit k0
2）加法公式
。

JnxyJkxJnky k
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n
(mn)

f (x) CnJv(n(v)x)
n1
C nJv21(2n (v)x)
1
0xf(x)Jv(
n (v)x)dx
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5.4.5半奇数阶的贝赛尔函数
J12xk 0k1!k
1 z2k1
k322
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H
(1) v
(
x
)
和
H
( v
2
)
(
x
)
的渐进性质
1) 在 x 0 点处的渐进性质
H(1) 0
(x)
i
2

ln
x 2
Hn(1)(x)i(n1)!2xn
H0(2)(x)
i 2lnx
2
Hn(2)(x)i
(n1)!xn
Jnx 2n120cosxcossin2nd
贝塞尔表达式
Jnx2 1 cosn xsind
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作业
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公共邮箱：
Weipeijunteach126
1) 在 x 0 点处的渐进性质
Y0(x)2ln2 x (x 0)
Y v(x)sinv 1(1v) 2 x v (v0 )
Yn(x)(n1)!2xn
2) 在 x时的渐进性质
Yv(x) 2xsin(xv2 4)o衰x 减3 2的周期振荡函数
5) J v ( x ) 的零点与 J v 1 ( x ) 或 J v 1 ( x ) 的零点是相互间插的。
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6) 对各阶贝塞尔函数的第1零点，存在关系式：
0 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( n ) 0 ( n 1 )
1) 在 x 0 点处的渐进性质
J0(x) 1 Jv(x)2v(1 1v)xv 0 (v0)
2) 在 x处的渐进性质
Jv(x) 2xcos(xv2 4) 衰o减(x的3 2)周期振荡函数
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Y v ( x ) 的渐进性质
密码：
123456
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J0(R) Jm(r1)Jm(r2)eim m

J0(r1)J0(r2)2 Jm(r1)Jm(r2)cosm m1
r1
R
r2
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对于整数阶的贝塞尔函数，还有如下积分表达式
泊松表达式 xn
(z1) ettzdt 0 ettz0 z0ettz1dt
0z ettz1dt 0
z(z)
递推关系式
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z 1
(1) etdt 1 0
z n(整数)
(n1)n(n)
n(n1)(n1)
n (n 1 ) 3 2 1 ห้องสมุดไป่ตู้1 )
n!
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此外，伽玛函数与三角函数之间存在下列关系式 (z)(1z)sinz
(1z)(1z)sinzz
当 z 1 2
(1)
2
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v 1 时，J v ( x ) 的零点都是实数。
2) 当 v 0 时，Jv(0) 0 ；当 v 0 时，Jv (0) 1 。
3) 除 x 0 外，J v ( x ) 的零点都是1阶零点；当 v 0 时，
v x 0 是 J v ( x ) 的 阶零点。
4) 若 Jv() 0 ，则 Jv() 0
Jv1(x)Jv1(x)2xvJv(x)
Jv 1 (x ) Jv 1 (x ) 2 Jv (x )
5分钟
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2） Y v ( x ) 的递推关系式
xvYv(x) xvYv1(x)
xvYv(x)xvYv1(x)
第5章 柱坐标系下的分离变量法
5.1 极坐标下的拉普拉斯方程 5.2 圆柱坐标系下的亥姆霍斯方程 5.3 贝塞尔方程的求解
5.4 贝塞尔函数的性质
5.5 贝塞尔方程的特征值问题 5.6 综合应用
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伽玛函数
(z) ettz 1dt R e(z)0 0
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对虚变量的贝塞尔函数有
1) 在 x 0 点处的渐进性质
I0 (0) 1
Im(x)

1 (x)m m! 2
Km(x)

ln
x 2
(m21)!(2x)m
(m0) (m 0)
2) 在 x时的渐进性质
Iv(x)
ex
2x
(x)
Kv(x)
ex
2x
(x)
贝塞尔函数零点的具体数值可查有关特殊函数的函数表
x0
Jv(x) 2xcos(xv24)
xv k
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2
(v)
(v)
i1
i
(v) i
(i1)v3
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5.4.2贝塞尔函数的渐进性质
J v ( x ) 的渐进性质：