Δ δ 1， Δ δ 2 .... Δ δ i ...... 。
Pa 2 R l3 (3l − a ) − B = 0 6 EI 3EI
结构变形能的相应增量：
ΔVε = ΔPi Δδ i + P 1Δδ 1 + P 2 Δδ 2 + " + P i Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅
ΔVε = P1Δδ1 + P2 Δδ 2 + " + Pi Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅ 略去高阶微量：
A
2 EI
∫
0
2 EI
∫
0
2 EA
2 3
2 3
2
2 3
2 3
Vε = W
1 2 P 2l 3 Pδ C = 2 3 EI C
δC =
4 Pl 3 3 EI
§4 互等定理
1、功的互等定理
P1 P2 P3
§4 互等定理
P1 P2 P3
δ1 δ2
δ3 δ4
第一组力在第二组力引 P4 起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组 力引起位移上所作的功
1 2
Pa 2 RB = 3 (3l − a) 2l
ΔVε = P1Δδ1 + P2 Δδ 2 + " + Pi Δδ i + ⋅ ⋅ ⋅
各力作为第一组力， Δ Pi作为第二组力 根据功的互等定理：
∂ Vε = δi ∂ Pi
拉压杆件
δi =
P1Δ δ 1 + P2 Δ δ 2 + " + Pi Δ δ i + ⋅ ⋅ ⋅ = Δ Piδ i
a2 δ1 = (3l − a ) 6 EI
§5 卡氏定理（第二定理）
P1 P2 P3
δ1 δ2
δ3 δi
1 1 1 Vε = P P2δ 2 + "+ Piδ i 1δ1 + 2 2 2
Pi
若给Pi一增量Δ Pi ，
l3 δ2 = 3EI
P 1δ 1 − RBδ 2 = 0
各力作用点沿作用力方向的 位移增量：
2、位移互等定理
P4
δ1 δ2
δ3 δ4
沿 P1 方向由 P3 引起 的位移等于沿P3方 向由P1引起的位移
1 1 1 1 Vε 2 = P3δ 3 + P4δ 4 P P2δ 2 = 1δ 1 + 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' ' + P1δ 1' + P2δ 2 + P3δ 3 + P4δ 4 + P3δ 3 + P4δ 4 + P1δ 1 + P2δ 2 2 2 2 2 Vε 1 =
3、线弹性梁弯曲（纯弯曲）
1 Vε = W = M eθ 2
§2 杆件应变能的计算
线弹性材料发生小变形时
θ =
M el EI
2
Vε = W =
1 F — 广义力； Fδ 2 δ— 广义位移
拉压 — 线位移； 扭转、弯曲— 角位移
M l 1 Vε = W = M eθ = e 2 2 EI
dVε =
M 2 ( x )dx 2 EI
Vε = W = 1 1 1 F1δ1 + F2δ 2 + " + Fiδ i 2 2 2
略去剪力应变能
线弹性体的应变能等于每一外力与其相应 位移乘积的二分之一的总和_____克拉贝依隆原理
因FN与M和T各自所产生的变形分别正交且为小变形， 这些内力都在它自身所引起的位移上作功而互不影响。 1 1 1 dW = FN ( x)d (Δl ) + M ( x)dθ + T ( x) dφ 2 2 2 2 FN ( x )dx M 2 (x )dx T 2 ( x )dx +∫ +∫ Vε = ∫ l l l 2GI 2 EA 2 EI p
能 量 方 法
能量原理—固体力学中与功和能有关的定理
Vε = W
本章主要内容：应变能、互等定理、 卡氏定理、莫尔积分、图乘法
主讲教师：梁小燕
§2 杆件应变能的计算
1、轴向拉伸与压缩
§2 杆件应变能的计算
2、纯剪切、扭转
Vε = W =
Vε = F 2l 2 EA
1 FΔl 2
FN l 2 EA
2 l
Δ Vε = Δ Piδ i
Δ Pi → 0
∂ Vε = δi ∂ Pi
例1：AB梁抗弯刚度EI，试求此梁的应变能 F B M A l 解：AB仅发生弯曲变形 1、列内力方程 2、求应变能
Vε = ∫
l
M (x ) = M − F ⋅ x
=
Vε = ∫
M 2 ( x )dx 0 2 EI
l
已知:刚架的抗弯刚度EI、抗拉压刚度EA, 试求C点的垂直位移 整个刚架的变形能: Vε =VεAB +VεBC L x1 BC杆内力: M ( x1 ) = Px1 B C x2 P AB杆内力: M (x2 ) = Pl，N = P 2 2 l P l ( Pl ) l ( x1 ) 2 P2 L V = dx 1 + dx 2 + dx 2 ε
∫
0
(M − Fx )2 dx
2 EI
0
2 3 1 ≠ Vε M + Vε F M 2l − FMl 2 + F l 3 2 EI
(
)
※不同类型变形的应变能可以代数相加 不同性质外力产生同一种变形时的应变能不能代数相加
Pl Pl i P l P l 2 P 2l 3 = + (1 + 2 ) = + = 6 EI 2 EI l 6 EI 2 EI 3 EI 轴向力的变形能远比弯曲变形能小，在杆系中当 两种变形能同时存在时，其拉压变形能可忽略不计。
′ ′ ′ ′ P1δ 1 + P2δ 2 = P3δ 3 + P4δ 4
′ ′ ′ ′ P1δ 1 + P2δ 2 = P3δ 3 + P4δ 4
若P 1 = P 3 ，P 2 = P 4 =0
δ1 = δ 3
′
′
2
例1：装有尾顶针的车削工件可简化为静不定梁， 试利用互等定理求解 解：利用功的互等定律
2
FN=P为常数， V ε = FN = FN（x）， Vε = ∫
FN (x ) ⋅ dx σ 2 1 2 EA u = = σε 2E 2
F
Vε = W =
1 m 2l mφ = 2 2GI p
φ=
u=
=∫
T 2 ( x )dx l 2GI p
Tl GI p
1 = τγ 2
τ2
2G
§2 杆件应变能的计算
Vε = ∫
l
0
M 2 ( x )dx 2 EI
非弹性材料 Vε = W δ1 力与位移的 =ຫໍສະໝຸດ ∫ F ⋅ dδ 0 关系不是线 性的
1
§3 应变能的普遍表达式
F1 F2 δ2 F3
M(x) T(x) FN(x)
dx
M(x) T(x) FN(x)
δ1
δ3
弹性体在变形过程中储存的应 变能，决定于外力和位移的最 终值，与加力的次序无关。 线弹性材料发生小变形时