ln a
(13) sec x tan xdx sec x C (14) csc x cot xdx csc x C
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法
一、直接积分法
例题：
(1)
dx
(2) x2 xdx 不能漏写
cos 2x
dx sin2 x cos2 x
练习：
cos2
1 x sin
2
dx x
解 原式
cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x dx
cos2 x sin
cos2 x sin2
2 xdx x
1 sin 2
x
1 cos2
x
dx
(csc2 tan x
x cot
sec2 x)dx xC
高等数学
第三章 不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的计算
2020/6/3
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数 二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念
引例：已知物体的运动方程为 s s(t),则物体
运动的即时速度为 v(t) s(t);如果已知物体的
x 1
C
(8)
1 dx arcsin x C 1 x2 arccos x C
(9) sin xdx cos x C
(10) cos xdx sin x C
(4)
1 x
dx
ln
x
C
(11) sec2 xdx tan x C (12) csc2 xdx cot x C
(5) exdx ex C (6) axdx ax C
2）如果 F(x) G(x) f (x，) 则 F(x) G(x) C（常数。）
结论：如果函数 f (x) 在区间 I 内有原函数F(x) ，则 f (x)
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F(x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数
例 题 1、求
1 dx
1 x2
解 由于 (arctan x) ' 1 , 1 x2
所以 arctan x是 1 的一个原函数， 1 x2
故
dx
1 x2 arctan x C
2、求
1dx x
解 因为 ln | x | 1
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C,
(x 0).
三、不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
d
1、
dx
f (x)dx
f (x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
2、 F( x)dx F( x) C, 或 dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与积分的运算是互逆的.
3. kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0)
4.[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为y f ( x), 根据题意知 dy 2x,
dx
2xdx x2 C, f ( x) x2 C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c 1,
速度方程为 v v(t),则物体运动的位移如何计
算呢?
? v(t)
例 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切 线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x,
dx
1、定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 F(x) f (x)
5
积分常数
x3 x3dx x31 C
3 1
1 C
2x2
x 2 dx
5 1
x2 C
2
x
7 2
C
5 2
1
7
(3)、2xe xdx
原式
(2e)xdx (2e)x ln( 2e )
C
2xex C ln 2 1
3
1
5
(5) [
3sin x]dx
2(1 x2 ) 3 1 x2 x
或 dF(x) f (x)dx, 则称 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的
一个原函数。
例如:因为 sin x cos x x R
所以 sin x 是 cos x 在 , 内的一个原函数.
问题： (1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
1）如果有 F(x) f (x)，则 F (x) C f (x)
所求曲线方程为 y x2 1.
函数f ( x) 的原函数的图形称为f ( x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
.
◆基本积分表 P94
1
(7) 1 x2
dx
arctan x C arccot x C
(1) 0dx C
(2) kdx kx C
(3) x dx
1
1
( 1)
csc2 x sec2 x dx
cot x tan x C
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d( 5x ) 5dx
二、不定积分的概念
函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称
为函数
f(x)在区间I内的不定积分，记作
。
f (x)dx
即
f ( x)dx F( x) C f (x)为被积函数
积 分 号
被积 积分 表变 达量
式
任 意 常 数
注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数 形式不一定相同，只要相差一个常数即可。
3 2
1 1 x2
dx
1 3
1
1
x
2
dx5Biblioteka 1dx x3sin
xdx
3 arctan x 1 arcsin x
2
3
5ln | x |3cos x
C
(sin x 3 1 )dx 2 cos2 x sin2 x
1 cos x 3 tan x cot x C 2
[x2 ( 2)x 2]dx 3x 1 x3 1 (2)x 2ln | x | C 3 ln 2 ln 3 3
x4
(6)
dx 1 x2
x4 11
dx 1 x2
(x2 1)(x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2
)dx
x2dx
dx
1 dx
1 x2
1 x3 x arctan x C 3
(7) tan 2 xdx
(sec2 x 1)dx
sec2 xdx dx
tan x x C