6.椭球体
椭圆绕对称轴所在直线旋转一周产生的曲面围成的几何体叫做椭球体.椭球体的体积43V abc π=
，其中a 、b 、c 分别是椭球的半轴.7.桶形体
如图，r 为桶形体上、下底面半径，R 为中截面半径，h 为高，则
（1）当桶形体的母线为圆弧时，体积为221(2)3
V h R r π=+.（2）当桶形体的母线为抛物线弧时，体积为221(843)15
V h R Rr r π=
++.8.有内切球的凸多面体的体积设球的半径为R ，几何体的表面积为S ，几何体n 个面的面积分别为i S ，1,2,,i n =⋅⋅⋅，
则凸多面体的体积1211111133333
n i n i V RS R S RS RS RS ====++⋅⋅⋅+∑.六、立体几何中的体积定理
1.祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
推论：等底等高的锥体的体积相等；等底等高的柱体的体积相等.
等底等高的三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一.
2.体积比定理
（1）等底锥体的体积比等于对应高的比；等底柱体的体积比等于对应高的比.
（2）等高锥体的体积比等于对应底面积的比；等高柱体的体积比等于对应底面积的比.
（3）相似体的对应线段比等于相似比，相似体的对应平面的面积比等于相似比的平方；458
相似体的体积比等于相似比的立方.
3.体积比模型（一）
如图，平面PAB 截四面体ABCD 的棱CD 或其延长线于P ，则C BAP D BAP V CP V DP
--=
.4.体积比模型（二）
如左图，C 、D 在平面ABM 异侧，CD 与平面ABM 交于P （M 、N 、P 三点共线），则C ABM D ABM V CP V DP
--=.如右图，当C 、D 在平面ABM
同侧时，结论也成立.5.体积比模型（三）
如图，P 、Q 、R 分别是四面体OABC 的棱OA 、OB 、OC 上的点，则
O PQR
O ABC V OP OQ OR V OA OB OC
--⋅⋅=⋅⋅
.6.体积比模型（四）
如图，E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若
1AE EB λ=，2BF FC λ=，3CG GD λ=，4DH HA
λ=，则123412341(1)(1)(1)(1)EFGH ABCD V V λλλλλλλλ-=++++.459
7.体积比模型（五）
过四面体内切球球心的平面分四面体的体积比等于这个平面分四面体的表面积的比.推广：多面体有内切球，则过多面体内切球球心的平面分多面体的体积比等于这个平面分多面体的表面积的比.
8.一组体积比结论连接四面体各面重心的新四面体的体积是原来的118
；连接四面体各侧面中线的中点及地底面任意点的新四面体的体积是原来的
132；连接平行六面体各面中心的八面体的体积是原来的16
.9.体积比模型（六）
如图，如果圆锥的椭圆截面1O 与底面圆周有唯一交点A ，且该椭圆截面分点A 所在轴截面PAB 的母线PB 的比为PM PB
λ=，则截面所截得的斜锥体与圆锥的体积比为λ的三次方，即3()P AM P AB
V V λ--=锥锥
.推广1：如图，如果圆锥的椭圆截面1O 与底面圆周没有交点，且该椭圆截面1O 的长轴EF 分圆锥的母线PA 、PB 的比分别为,PE PF PA PB
λμ==，则截面所截得的斜锥体与圆锥的体积比为λμ的三次方，即3()P EF P AB
V V λμ--=锥锥.460
推广2：如图，圆台轴截面为等腰梯形ABCD ，以AC 为直径的椭圆截面把圆台分成上下两部分，如果圆台上下底面半径比为
r R
λ=，则截面所截得的上下两部分的体积比为λ的三次方.第六节图形变迁
图形变迁的实质是用运动变化的观点认识事物之间的联系。

一、“Z ”字图的变迁
如图，空间四点满足,AN MN BN MN ⊥⊥，我们形象地称为“Z ”字图。

下面各图实际上是同一个图形，后面八图可以看成是由“Z ”字图演化而来的，这就是图形的变迁。

有时解题时要切割图形、补充图形，就必须熟悉图形的变迁。

二、帐篷图及其变迁
有这样一个常用图形，它象我们平时用的一顶帐篷，故形象地称为帐篷图。

它是三面角的一种。

461。