《平方差公式》案例分析
xxx 20XX年12月29日 10:31
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一、教材分析：
[本小节在教材中的作用和地位]：
本节内容是在学习整式乘法的基础上进行的，它是代数以至整个数学中应用最广泛的公式之一，是构建学生代数知识结构，培养学生化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用.
二、目标分析：
[教学目标]：
1、知识与技能目标
(1)经历探索平方差公式的过程，熟悉平方差公式；
(2)能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算；
(3)会推导验证平方差公式，能灵活运用平方差公式进行运算.
2、过程与方法目标：
通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.养学生的数学建模能力，抽象思维能力，感悟换元变换的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维，从而提高学生灵活运用公式的能力.
3、情感态度价值观目标：
让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具，学习是有价值的学习，从而促使学生热爱数学研究数学.
[教学重点和难点]：
重点：理解和掌握平方差公式.
难点：灵活应用平方差公式.
三、教法分析与学法分析：
[学情分析]：
学生在知识方面已掌握了整式的概念、整式的加减与乘法运算.在情感态度方面个性活泼、思维活跃，已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力.在思维方面逐渐具有一定的抽象思维能力，并能较好地利用数形结合的思想解决一些数学问题.
[教法分析]：
基于本节课内容的特点和八年级学生的特征.遵循教必须以学为立足点的教学理念.我以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，通过学生的自主探究，加深对公式的理解.同时，考虑到学生的个体差异，在各个环节采用分层教学.
[学法分析]：
以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.
四.教学过程
1.创设情境
将一个边长为m的正方形草坪一边减少4米,一边增加4米,改建后的草坪形状发生了怎样的变化?
（从实际生活中引出数学知识,感受数学处处存在）
2.探索活动
师：形的面积怎样变化?
生:面积不变.
师:那就请你通过剪拼手中的长方形纸片与正方形纸片来验证你的猜想!
(学生认为一边减少4边增加4米, 一边减少4米,少的与加的一样,所以面积不变,此时,就势提出让学生来验证自己的猜想,学生通过课前准备的10cm×10cm 与8cm×12cm的纸片来剪纸拼图)
师展示学生拼图：谁的面积大?
生:正方形.
(学生通过剪纸拼图的方式对自己先前的猜想予于否定)
师:多的这部分在拼成的图形中是哪一块的面积?
生:……
师:它是一个什么图形?
生: ……
师:多出的面积是多少?
生: ……
师:如果原来的正方形减少与增加的长度都是n呢？
生: ……
师：如果将多出部分剪掉,所得的图形的面积怎么求?
(通过展示剪掉多出部分这一过程,让学生感受图形面积可由大的正方形面积减去小正方形的面积得到)
师：过剪纸拼图的方法来计算出这个图形的面积吗？
(学生很自然的想到这个图形就是被剪的长方形拼成的)
生甲：可以拼成长方形.
生乙:可以拼成梯形.
生丙:可以拼成平行四边形.
……
师:对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？那么你能从中发现什么？”……
（学生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形给予充分的评价并鼓励学生从中发现知识，交流自己的观点）
师:你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？
（学生利用多项式乘多项式的法则计算(a+b)(a-b)，验证自己的猜想）3．概念认识
(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式称为平方差公式
师：你能用语言叙述这个公式吗？
生甲:两个数的和乘以两个数的差等于一个数的平方减去另一个数的平方.
师:说的非常好，还有哪位同学来试着说说看？
生乙:两个多项式相乘，其中两个项都相等，另两个项符号不同，等于符号相同的数的平方减去符号不同数的平方.
师:很好，请大家根据这一特征来完成下列练习：
（根据学生层次的不同，若学生在此不能观察出公式特征，教师可增加启发性的问题,如：等式左边的两个多项式有什么相同，有什么不同？两项的符号都不同吗？等于什么？……学生由此观察发现公式的特征）
练习：（1）据公式特征，判断下列计算哪些可以用平方差公式?
1)(a+2)(a-2)
2)(5a+b)(5a+b)
3)(-m+n)(-m-n)
4)(2x-3)(-2x+3)
5)(m-2n)(-m-2n)
6)(-5-a)(5+a)
7)(-b+9a)(b+9a)
（学生根据公式左边两个多项式中有两项符号相同两项符号不同这一特征来判断哪些计算可以套用平方差公式）
（2）填空
1)(x+2)(x-2)=( )2-( )2
2)(-m+n)(-m-n) =( )2-( )2
3)(m-2n)(-m-2n)= ( )2-( )2
4)(-b+9a)(b+9a)= ( )2-( )2
（这是对公式右边特征的巩固训练，学生根据公式右边是用符号相同项的平方减去符号不同项的平方这一特征来填空）
4.例题教学
例1.利用平方差公式计算
1)（3x+2y）(3x-2y)
2）（-7+2m2）（-7-2m2）
解：1）原式=（3x）2-（2y）2=9x-4y2
2) 原式=（-7）2-（2m2）2=49-4m4
（规范书写步骤，第二小题由学生先自己尝试，再交流答案，对错误进行辨析）
5.巩固练习
计算
1)(a+6)(a-6)
2)(1+x)(1-x)
3)(x+2y)(x-2y)
（形成性训练，学生通过联系熟悉解题过程，规范书写格式）
6.小结：
通过本节课的学习,你认为:
1) .最重要的知识是：
2).最难的知识是：
3).最有感触的是：
4).最想问的问题是：
（让知识从课堂引申到课外）
7.作业
1) .阅读课本34—35页内容
2).（必做题）P
A组1、2.
36
B组1、2.
3).(选做题) P
36
五.教学设想
本节课是在学习了多项式乘多项式和完全平方公式的基础上学习的又一个新的乘法公式.本节课由情景入手,设置疑问,让学生猜想正方形在一边增加4m
一边减少4m的情况下,面积怎样变,然后让学生通过动手剪纸拼图来验证自己的猜想.在此过程中,学生可能回有多种拼图方法,教师应尽可能的加以鼓励和引导.由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出(a+b)(a-b)=a2-b2.然后再引导学生从数的角度加以验证自己发现的公式.此时,教师给出公式的名称.之后,通过学生尝试对公式的语言叙述来认识公式本质和特征.在此过程中,教师应鼓励学生大胆的尝试用自己的语言叙述公式,并从中抓住学生叙述中闪光之处,抓住能揭示公式特征的语言加以启发,引导学生充分认识公式特征.之后,通过先判断哪些计算能用公式,再到怎么用,让学生先掌握公式左边特征.再掌握公式右边的特征,从而真正认识和理解公式.之后通过例题教学来规范书写,例题教学中对于学生易错的问题让学生先自己尝试,再交流辨析,对错误进行剖析和指正.之后通过巩固训练来检测本节课的效果.最后,再把数学知识应用于生活.在给出应用题之前,教师通过”看谁算的快”来引导学生
利用所学知识解决问题,在此过程中好学生与学困生之间可能存在反应速度的不同,教师顺势引导,让学困生思考其中的”技巧”,让算出答案的反应快的同学自己尝试去编题,让不同的人在数学上得到不同的发展.之后再过度到应用题,这样学生就能很顺利的解决这个应用题.小结是通过四最让学生回顾本节课的知识,同时也把知识引申到课堂之外.
六.教后反思
1.新课标中强调了学生对知识的自主建构与交流探究相结合的学习方式,本节课学生在自主探索中发现知识，在交流讨论中辨析知识.
2.学生通过观察，猜想，操作,验证解决问题,是新课标中所提倡的新的学习方式----问题探究学习.
3.以折纸活动充分调动学生的参与性，让学生做课堂的主人，教师是活动的参与者，合作者.
4．从学生认识事物的规律和顺序出发，逐步设置问题，引导发现公式特征.。