2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
知识点1. 两点间的距离公式
①. 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B
②． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|； 当B 为原点时，d (A ，B
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1. （3）计算 d 22x y +.
（4）给出两点的距离 d .
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
知识点2. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标；
（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 知识点3. 中点坐标公式
已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有 12122
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。

（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为
12312
333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩
题型1. 公式的基本应用
例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，
（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).
（2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2
3
)，
例2． 已知点A (－1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
题型2. 公式的逆用
例3. 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.
例4．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |=|CE |.
例5．已知△ABC的顶点为A(－1，3)，B(3，－2)，C(2，4)，求BC边上的中线AM的长.
【练习】
1．如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是－1，则端点B的纵坐标是（）
（A）－3 （B）5 （C）－3或5 （D）－1或3
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得|AB|=5，则B点的坐标是（）
（A）(2，0)或(0，0) （B）(10)
（C）(10) （D）(10)或(10)
3．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是（）（A）(－2，0) （B）(1，0) （C）(1.5，0) （D）(3.4，0)
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M点的坐标是 . 5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，求x+y的值.
6．设D为△ABC的边BC上的一点，而BD=2DC，求证：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
例6．求函数y.
例7．已知正方形ABCD的三个顶点坐标是A(2，3)，B(6，6)，C(3，10)，求顶点D的坐标。

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