2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =(M N )I ð (A ){}12, (B ){}23, (C ){}2,4 (D ){}1,4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为(A )2()4x y x R =∈ (B )2(0)4x y x =≥ (C )24y x =()x R ∈ (D )24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += (A(B(C(D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ,y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则=23z x y +的最小值为(A )17 (B )14 (C )5 (D )3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是(A )1a b +> (B )1a b -> (C )22a b > (D )33a b >【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,224k k S S +-=,则k =(A )8 (B )7 (C )6 (D )5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=,解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=,解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于(A )13(B )3 (C )6 (D )9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈,AC l ⊥,C 为垂足,B β∈,BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===,则CD =(A ) 2 (B(C (D )1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法,第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法,根据分步计数原理,有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项:1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。
请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无........效.。
3第Ⅱ卷共l0小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.(注意:在试卷上作答无效........) (13)10(1)x -的二项展开式中,x 的系数与9x 的系数之差为 .【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.【解析】由11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为91010C -=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.(14)已知3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α= .【答案】5-【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围,进而确定值的符号.【解析】3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α=(15)已知正方体1111ABCD A B C D -中,E 为11C D 的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE 与BC 所成的角.【解析】取A 1B 1的中点M 连接EM ,AM ,AE ,则AEM ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角。
在AEM∆中,222352cos 2233AEM +-∠==⨯⨯. (16)已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点,点A C ∈,点M 的坐标为(2,0),AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF = .【答案】6【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.【解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线,∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈,由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a 1和公比q 的方程,求出a 1和q ,然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可。
【解析】设{}n a 的公比为q,由题设得1116630a q a a q =⎧⎨+=⎩ …………………………………3分 解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩, …………………………………6分 当13,2a q ==时,132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-;当12,3a q ==时,123,31n n n n a S -=⨯=- ……………………………10分(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若075,2,A b ==a c 求,.【思路点拨】第(I )问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。
(II )在(I )问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.【解析】(I)由正弦定理得222a c b +=…………………………3分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =,因此45B = .…………………………………6分 (II )sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+= …………………………………8分故 sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=…………………………………12分 (19)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率,考查考生分析问题、解决问题的能力.【解析】记A 表示事件:该地的1位车主购买甲种保险:B 表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。