南京工业大学 高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）学院 班级 学号 姓名一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为2、设yoz 平面上曲线12222=-cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .3、设a x x a y D ≤≤-≤≤0,0:22，由二重积分的几何意义知⎰⎰=--Ddxdy y x a 222 .4、已知向量c 与(1,1,1)a =,(2,1,3)b =-都垂直，且向量a ，b ，c 构成右手系则c = . 5、曲面04x 8z xy 3x :2=--+-∑在)2,3,1(-P 处的切平面的法向量是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（ ）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程（A ）xyy x dx dy 23+= （B ）22y )1x (dxdy+= （C ）x e xy dxdy=- （D ）222xy x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及41z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（ ）.（A ）异面 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）相交3、对二元函数)y ,x (fz =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（ ） （A ） 若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f在0P 处连续 （B ） 若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ） 若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在 （Ｄ）若)y ,x (f在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则dxdy y x D2⎰⎰＝（ ）)(A dxdy y x 21D 2⎰⎰ )(B dxdy y x 41D 2⎰⎰ )(C ０ )(D dxdy y x 1D 2⎰⎰5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).)(A 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+1n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛)(C 若1u u limn1n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞=1n n u 收敛 三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1、（７分）求微分方程5)1x (1x y2dx dy +=+-的通解。

2、（７分）设)y 2x cos(xy z -+=求yx z2∂∂∂。

3、（７分）求过点)1,3,1(M 0-并且与直线4z2y 3x =-=垂直的平面方程．4、（７分）计算⎰⎰Ddxdy yysin ，其中D 是由直线x y =与x y =所围成的闭区域。

5、（９分）求出幂级数∑∞=++-0n 1n n1n x )1(的收敛域及其和函数６、（9分）设函数)y ,x (zz =由方程0)xzy ,y z x (F =++确定，求dz7、(9分)求方程2x1y x 2y +'=''的通解四、应用题（8分）试求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．五（本题7分）要求用两种不同的方法计算二重积分⎰⎰+D 222dxdy yx x，其中222ayx:D≤+)a(>（注意如果用一种方法正确解出可得4分）南京工业大学 高等数学B 试卷（A ）(参考答案)2011--2012学年 第 二 学期 使用班级 浦江学院11级一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、31y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、361a π 4、)3,1,4(-- 5、)1,3,3(- 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、(A)2、(A )3、(D)4、(A )5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：解：因1x 2)x (P +-=⇒积分因子⎰dx )x (P e=2dx 1x 2)1x (1e +=⎰+- 方程两边乘2)1x (1+得到，212252)1x ()1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+， 两边积分： dx )1x (y )1x (1212+=+⎰= C )1x (3223++通解为： ]C )1x (32[)1x (y 232+++=，-----------------------7分2、解：)y 2x sin(y xz--=∂∂ y x z 2∂∂∂=)xz(x ∂∂∂∂=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。

由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为0)1z (4)3y (2)1x (3=++---⇒07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分4、解：原式=⎰⎰yy 102dx yysin dy= =⎰-10dy )y sin y y (sin =⎰10ydy sin -⎰10ydy sin y=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分5、解：因)x (u )x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛当1x -=时，级数为∑∞=+-0n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞=+-0n n1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,1(---------------------------------------------------------------4分 设∑∞=++-=0n 1n n1n x )1()x (s 1x 1≤<-，)1n x ()1()x (s 0n 1n n'+-='∑∞=+=x 11x )1(0n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，所以⎰⎰+='x0xdx x 11dx )x (s 1x 1≤<-⇒)x 1ln()0(s )x (s+=- ⇒)x 1ln()x (s +=-------------------5分6、解：设=)z ,y ,x (G )xzy ,y z x (F ++则 )xz(F F G 221x -+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以z x G G x z -=∂∂=21221F x 1F y 1F x zF +--，z y G G y z -=∂∂=21212F x1F y 1F F y z ++--dz =dx F x1F y 1F x zF 21221+--dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分 （若用其他方法解，自己掌握）7、解：令p y ='，则 dx dp y =''，方程化为 2x1xp2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12C ln )x 1ln(p ln ++= ⇒)x 1(C y 21+='---------------------------------------------------5分231C )x 31x (C y ++= ---------------------------------------9分 四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2-++λ+= 则 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+λ+==+λ+==+λ+=2z y x a yz 2xz2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ⇒唯一驻点6a z y x ===由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6a 时，可使体积最大五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰θθD222rdrd r cos r =⎰⎰θθπa 0220rdr cos d =⎰πθθ+20a02d r 2122cos 1=2a 2π---------------------------4分解法二：利用对称性：⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰+D 222dxdy yx y ，因此，⎰⎰+D222dxdy y x x =21【⎰⎰+D 222dxdy y x x +⎰⎰+D 222dxdy yx y 】 =21⎰⎰++D2222dxdy yx y x =2a 2π-------------------------------3分。