分式
知识点一:分式的定义
一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子
B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。
知识点二:与分式有关的条件
①分式有意义:分母不为0(0B ≠)
②分式无意义:分母为0(0B =)
③分式值为0:分子为0且分母不为0(⎩⎨⎧≠=0
0B A )
④分式值为正或大于0:分子分母同号(⎩⎨⎧>>00B A 或⎩
⎨⎧<<00B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(⎩⎨
⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A )
⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B )
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)
知识点三:分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:C B C ••=A B A ,C
B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。
拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
B
B A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意
C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四:分式的约分
定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
知识点四:最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:分式的通分
分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式; Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为: d
b c a d c b a ••=• 分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为
c
c ••=•=÷b
d a d b a d c b a 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。
式子
n n n
b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 分式的加减法则:
同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。
式子表示为 c
b a
c b ±=±c a 异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为
bd
bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
即
★n m n m a
a +=⋅a ★()mn n m a a = ★()n n n
b b a a = ★n m n m a a -=÷a (0≠a ) ★n n b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
★n a 1=-n a (0≠a ) ★10=a (0≠a ) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m ,n 均为整数。
科学记数法
若一个数x 是0<x<1的数,则可以表示为n 10a ⨯(10a 1<≤,即a 的整数部分只有一位,n 为整数)的形式,n 的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。
如0.000000125=-7101.25⨯
若一个数x 是x>10的数则可以表示为n 10a ⨯(10a 1<≤,即a 的整数部分只有一位,n
为整数)的形式,n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。
如120 000 000=8
101.2⨯ 知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。
如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
增根的产生的原因:
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程,这时未知数的允许值扩大,因此解分式方程容易发生増根。
例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.
7个0
9个数字。