结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量
的位移由两个函数组成：
第一项为暂态分量：振动角频率为
。
表示外力刚开始项为稳态分量：振动频率等于外力的频率，
表示外力产生的强制振动分量。
是振幅不变的简谐振动。
随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者
成为描述振子运动的函数—稳态解。
三、质点的稳态振动
Zm
Rm
，
j
M
D
Rm
j M
1 C m
Z m e j
Zm
Rm2 MD2 ;
tg
1
M
Rm
D
物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速
幅值所需力的大小。
三、质点的稳态振动
2、频率特性曲线
机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅 值不变,初相位为0；得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线； 得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。——二者称作该响应 的频率特性曲线。
0
1et
0
二、强迫振动的过渡过程
图1. Qm =1.7（低） 大阻尼
图2. Qm=5（中） 中阻尼
图3. Qm =15（高） 小阻尼
三、质点的稳态振动
振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解影响 。
（实际工程中，主要关心的是稳态解）
0，只有稳态解，所以下面分析稳态解
三、质点的稳态振动
系统振动达到稳态时 位移：
且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则：
x0 0 ,v0 0
0
二、强迫振动的过渡过程
Zm
Rm2 MD2 ；
tg
1
M Rm
D
0
Zm Rm,0
得
xtA m e tco s0t1F 0R 0msin0t
带入零初始条件得
1
π, 2
Am
0FR0m
二、强迫振动的过渡过程
所以
x(t)F 0R 0m(1et)sin0t
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20ejt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率 等于外力的频率。
~x t 代入强迫振动方程（*） 2 Mdd2xt2 (t)Dx(t)F0ejt （*）
1、无阻尼系统的强迫振动 得
一、强迫振动方程及其解
一、强迫振动方程及其解
0
二、强迫振动的过渡过程
对解的进一步分析： (1)强迫振动的过渡过程（暂态解）
阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到 稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到0的过程 。
二、强迫振动的过渡过程 几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。 ①零初始条件：从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 运动方程式
Mdd 2x t2 (t)D x(t)f(t)F 0cost
用复数表示： ， x(t)R~ xe(t)() f(t)Re ~ f(t())
则运动方程化为：
Mdd2xt2(t)Dx(t)F0ejt
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次
Rm
D
) }
π 2
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
位移的幅频曲线
位移的相频曲线
Xm
F0
j(Rmj(mD))
xar g((Rm jj(m D)))
位移的频响曲线
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
②前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应
v (t ) d x (t ) F0 e j(t)
F0
x20 02 2
F0 M
所以方程的解为：
x20
M
F0
02 2
x(t)Aej(0t) F0 ejt
M ( 0 22)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
所以，实际位移为：
x (t) R e x (t) A c o s (0 t) M (F 0 2 0 2 )c o st
求得
A F0 ; 0
M 02 2
一、强迫振动方程及其解 1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
三角变x换tMF 0 202 costcos0t
xtM 2 0 2 F 02sin 02 t sin 02 t
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
0 0
时‘拍’现象明显 形成‘拍’振动
e j t
dt Zm
Rm
j(m
D
)
V m e j( tv )
其 中 ： Vm
F0
R
2 m
(m
D
)2
(m D )
v arctan{
} Rm
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
振速的幅频曲线
振速的相频曲线
Vm
F0
Rm
j(m
D)
varR gm(j(m D))
振速的频响曲线
2、频率特性曲线 ③前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
d2x(t) dx(t)
M dt
Rm dt D x(t)f(t)
外力为谐和力 复数表示：
FtF 0co ts
x(t)R~ xe(t)()
F(t)RF ~ e(t())
2、有阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
运动方程： 其解：
M dd 2x t2 (t)R mdx d(tt)D x(t)F 0ejt
0~0
时‘拍’现象不明显
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律 ①振动频率近似等于 ②“振幅”作慢周期变化，拍周期
一、强迫振动方程及其解
2π 0
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
当xtMF00tsin 002 t tsin02t
2
0
xt2F M0tsint
1、无阻尼系统的强迫振动
π 定义： 为系统的过渡时间。单位，秒（Sec）。 0
值与 的关系：
Qm
0
Qm
π
T0
QmT00
Q 大， 大——达到稳态需要时间长（阻小）
m
0
0 QmT0
二、强迫振动的过渡过程
②外力频率接近而又不等于自由振动频率，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭 加表现出拍现象。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。
停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力
①弹性力
②外加推力 f(x)
Dx
一、强迫振动方程及其解
~ x(t) ~ x(t) ~ x(t) 理中称为“暂态解”。
为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为“通解”；物
1
2
其中： x1(t)Ametej( t1)
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
当 时, 0
022 0
x 1t A m e tc o s0 t1
, 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 0 由系统的初始条件确定
D)
a
arg( Rmj
(jm D))
加速度的频响曲线
三、质点的稳态振动
共振频率 定义:机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大
值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。 一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速 度共振频率…等。
振速：
x(t) F0 ej(t)
j Zm
v ( t) d x d ( tt) jF Z 0m je j( t ) Z F m 0e j( t ) F Z 0 m e e j j t F Z ( m t)
其中，
F(t)F0ejt
ZmR mj(M D )Zmej
1、机械阻抗
三、质点的稳态振动
定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生稳定的同频率谐合振速，若用复数力
振动位移的过渡过程
二、强迫振动的过渡过程
显然，此振动振幅达到稳定的过程由系数 就达到了稳态。
决定，一般上，认为振幅到稳定值的 95％时,
系统过渡时间 ：稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。 0 xm00.950FZ0 m
二、强迫振动的过渡过程
若 1 e t 0 .9， 56可 t π 得 ( e π ： 0 .0)4
Am ,1
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
设特解
代入到运动方程 得到
~ x2tXmejt
M dd 2x t2 (t)R mdx d(tt)D x(t)F 0ejt
M 2 jR m D X m F 0
2、有阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
XmM 2F j0Rm DjRmjF 0 M D x2(t)j[RmjF(M 0 D)]ejt
三、质点的稳态振动
a (t ) dv (t ) j F0 e j(t) j