高速公路的一些线路坐标、高程计算公式
(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)
一、缓和曲线上的点坐标计算
已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R
③缓和曲线的长度：l0
④转向角系数：K(1或－1)
⑤过ZH点的切线方位角：α
⑥点ZH的坐标：x Z，y Z
计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，
公式中n的取值如下：
当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：
l为到点HZ的长度
α为过点HZ的切线方位角再加上180°
K值与计算第一缓和曲线时相反
x Z，y Z为点HZ的坐标
切线角计算公式：
二、圆曲线上的点坐标计算
已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R
③缓和曲线的长度：l0
④转向角系数：K(1或－1)
⑤过ZH点的切线方位角：α
⑥点ZH的坐标：x Z，y Z
计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：
当只知道HZ点的坐标时，则：
l为到点HZ的长度
α为过点HZ的切线方位角再加上180°
K值与知道ZH点坐标时相反
x Z，y Z为点HZ的坐标
三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明：
l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度
l2——第二缓和曲线长度
l0——对应的缓和曲线长度
R——圆曲线半径
R1——曲线起点处的半径
R2——曲线终点处的半径
P1——曲线起点处的曲率
P2——曲线终点处的曲率
α——曲线转角值
四、竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
五、超高缓和过渡段的横坡计算
已知：如图，
第一横坡：i1
第二横坡：i2
过渡段长度：L
待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i
解：d=x/L
i=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1
六、匝道坐标计算
已知：①待求点桩号：K
②曲线起点桩号：K0
③曲线终点桩号：K1
④曲线起点坐标：x0，y0
⑤曲线起点切线方位角：α0
⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)
⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y
②待求点的切线方位角：αT
计算过程：
注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
在计算器中若无此函数可编一个小子程序代替。
圆曲线的计算与测设
由一定半径的圆弧构成的曲线，称为圆曲线。
在路线中线由一直线方向转变为另一直线方向时，或由一坡度转变为另一坡度时，为保证运行安全，一般在水平方向和竖直方向均设置一定半径的圆曲线。
下面介绍水平方向上圆曲线的测设方法。
（一）圆曲线的要素及其计算
如图10-63 所示，A 为某道路中线的起点，其里程为0+000 ，道路中线由AJ D 1 方向转变为另一直线方向J D 1 －JD 2 , 为了行车安全，需在其间设置平面圆曲线“ ZY －QZ －YZ ”，其名称和常用符号结合图10-63 介绍如下：
R ——圆曲线半径，在测设中根据路线等级及地形条件选定；
α ——转向角，由设计图纸提供，或在路线定测时实测；
JD ——转向点，或称交点，根据工程的设计条件测设；
ZY ——直圆点，圆曲线的起点；
QZ ——曲中点，圆曲线的中点；
YZ ——圆直点，圆曲线的终点；
T ——切线长，JD 至ZY(YZ) 的直线距离；
L ——曲线长，ZY 至YZ 的弧长；
E ——外矢距，JD 至QZ 的直线距离；
q ——切曲差，两倍切线长与曲线长之差。
通常，把T 、L 、E 、q 四元素称为圆曲线要素。
把ZY 、QZ 、YZ 三点称为圆
曲线主点。
由图10-64 可知，各要素的计算公式如下：
（10-25 ）
（二）圆曲线主点桩号的计算
在线路测量中，曲线段的桩号是按曲线传递的，若已求出圆曲线要素及交点JD 的桩号，则计算圆曲线主点桩号的一般公式如下：
（10-26 ）
主点桩号的检核，可用切曲差q 来验算，其公式为：
（三）圆曲线主点的放样方法
求出圆曲线要素之后，可按下述步骤测设圆曲线主点：
1. 将经纬仪安置于交点J D 1 上（见图10-63 ），分别瞄准起点A 和交点J D 2 ，从J D 1 起沿切线方向用钢尺测设切线长T ，在地面上分别标定出曲线起点ZY 和曲线终点
YZ 。
2. 经纬仪在J D1不动，以J D2为零方向，盘左、盘右两次测设水平角，取平均位置作为该角之分角线方向，并沿分角线方向从JD1起测设外矢距E ，在地面上标定出曲线中点QZ 。
圆曲线主点对整条曲线起着控制作用，测设正确与否，将直接影响曲线的详细放样。
（四）圆曲线细部点的放样方法
在地形变化不大的地区，且曲线长L ＜40m 时，仅测设曲线三个主点已能满足道路施工要求。
如果地形变化较大，曲线较长或半径较小（小于150m ），仅测设主点就不能全面代表曲线的位置。
这时，为了施工准确和方便，应在曲线上每隔一定距离测设一个细部点，并钉一木桩，此项工作称为圆曲线细部点放样，或称圆曲线的详细测设。
有了这些细部点，就
可以把曲线的形状和位置详细的表示出来。
在实测中，一般规定：R ≥ 150m 时，曲线上每隔20m 测设一个细部点；150m ＞R ＞50m 时，曲线上每隔10m 测设一个细部点；R ≤ 50m 时，曲线上每隔5m 测设一个细部点。
圆曲线细部点放样的方法较多，但在全站仪日益普及的今天，实际工作中比较实用且效率较高的测设方法仍能是直角坐标法与极坐标法。
它是根据两个互相垂直的距离x 、y 的直角坐标定位原理来测设圆曲线细部点，故名直角坐标法。
在地势平坦、便于测量的地方，采用本法较为迅速方便。
通常先计算各点坐标，再到实地测设。
1 ．坐标计算
如图10-64 ，本法是以圆曲线起点（ZY ）或终点(YZ) 为坐标原点，以切线为x 轴，以过原点半径为y 轴，当各细部点间弧长均为K 时，则其所对应的圆心角φ 按下式计算：
(10-27)
弧长K 所对应的弦长S 按下式计算：
(10-28)
各细部点平面直角坐标x 、y 按下式计算
（10-29 ）
弦弧差：
即（10-30 ）
2 ．测设步骤
l 首先检核原放样的三个主点ZY 、QZ 、YZ 的位置，若有错误，随时纠正。
l 参看图10-65 ，沿切线ZY －JD 方向测设x1，x2，x3……，并在地面上标定出垂足m 、n 、p ……
l 在垂足m 、n 、p ……处用经纬仪、特制的直角尺或“勾股弦”法作切线的垂线，分别在各自的垂线上测设y1，y2，y3……，以标定点1 、点2 、点3 、……各细部点。
l 同法，从YZ －JD 切线方向上测设圆曲线的另一半。
用(10-31) 式计算得出的各细部点坐标（x i，y i）可以很容易地反算出极坐标放样的数据β i，S i，从而可用全站仪放样各细部点位置，并且会有更高的工作效率。
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