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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边
b
( 或 黎 曼 积 分 ) ， 记 作 f(x)dx a
其 中 f ( x ) 称 为 积 分 函 数 ，x 称 为 积 分 变 量 ，[ a , b ] 称 为 积 分 区 间 ，a , b
分别称为积分 的上限和下限。 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为
变力作功问题可表示为
b
S f (x)dx
oa x1
b xi1 i x i xn1
x
以 [xi1,xi]为底 f(， i)为高的小矩形面积
Ai f(ξi)Δix
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曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当分割无限加,细 即小区间的最大长度
max{x1,x2, xn}
趋近于零( 0)时，
曲边梯形面积为
n
Alim 0i1
f(i)xi
i 1
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为 一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积 分下一个定义
定 义 设 f (x) 是 定 义 在 区 间 [a , b]上 的 一 个 函 数 ， 在 闭 区 间
[a, b] 上 任 取 n-1 个 分 a x1 x i1 x i x n b 把 [a,b] 分 成 n 个 小 闭 区 间 ， 我 们 称 这 些 分 点 和 小 区 间 构 成 的 一
||T||m ax { xi} 0近 似 程 度 就 无 限 高 .
将这种方法用于一般的曲边梯形： 在区间[ab, 内 ] 插入若干 ax0x1x2xn1xnb,
把区间 [a,b] 分成 n
个小区间 [ xi1, xi ]，
y
长度为 xi xi xi1;
在每个小区 [xi间 1,xi]
上任取一i点 ，
C D
图1 长江三峡溢流坝断面
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
假设抛物线方程为 y 1x2 , x[0 , 1], 将[0,1] 等分成n
等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形第i 个小曲边梯形用
宽为 1
，高为
1
i
2
的矩形代替，
2. 变 力 所 作 的 功 : 4. 原 函 数 的 构 造 型 定 义 :
1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程 实 际 中 经 常 接 触 的 大 都 是 曲 边 图 形 ,他 们 的 面 积 怎 么 计 算 呢 ？ 我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
a
b
W F (x)dx a
例
用定义求积分
1 d x .
01 x2
解 分法与介点集选法如例 1 , 有
1 d x
01 x2
lim n
n i1
1
1 i
2
1 n
lim n
n
n
i1 n 2 i 2
.
n
上 式 最 后 的 极 限 求 不 出 来 ,
1
但却表明该极限值就是积分
dx
F F ( i ) , i [ xi1 , xi ]
在 [ xi1 , xi ] 上，力 F 作的功
2）求 和
Wi F ( i )xi
力 F 在 [a , b] 上作的功
n
n
W Wi F (i )xi
i1
i1
分 割 越 细 ， 近 似 程 度 越 高 ， 分 割 无 限 细 时 ， 即 分 割 细 度
y=1-x.^2;
y1='1-x.^2';
s n = s u m ( ( 1 / n ) * ( 1 - x . ^ 2 ) ) , b a r ( x , y , ' m ' ) s n = 0 . 7 1 5 0
n=10 情况
10Biblioteka 90.80.70.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=50 情况, S(50) = 0.6717
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=100 情况 S(100)=0.6717
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.6666
。
。
0.3
0.2
0.1
原理设计的，如图1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，
下面部分是圆弧。建造这样的大坝自
然要根据它的体积备料，计算它的体积就
需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义
A B
时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术”
第九章 定积分
教学目标：
掌握定积分概念及基本性质； 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式； 掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法 等）。
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§1 定积分的概念
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 曲 边 梯 形 的 面 积 : 3. 函 数 的 平 均 值 :
y
y
oa
bx o a
bx
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学
F(x)
A
B
F 虽 然 是 变 力 ， 但 在 很 短 一 段 间 隔 内 x ， F 的 变 化 不 大 ， 可 近 似 看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
1） 对 [a , b]作 分 割
a x 1 x i 1 x i x n b
当每个小区间的长度都很小时，小区间 [ xi1 , xi ] 上的力
.
01 x2
三．理解定积分定义要注意以下三点：
1） 定 积 分 定 义 与 我 们 前 面 讲 的 函 数 极 限 的 “ ” 定 义 形 式 上 非 常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定
了 细 度 || T || 以 后 ， 积 分 和 并 不 唯 一 确 定 ， 同 一 细 度 分 割 由 无 穷
再演示一下这个过程
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3）取 极 限 对 上 面 和 式 取 极 限 ，极 限 值 ,就 是 力 在 [a , b] 上 作 的 功 。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力 作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取 极限”，或者说都归结为形如
n
f ( i ) x i
黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德国数学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学 和柏林大学学习，1851年获博士学位1859年任教授，1886年 因肺结核去世。他四十年的生涯中，在数学许多分支，都作 出了划时代贡献。他在1851年的博士论文“复变函数论的基 础” 给出了保角影射的基本定理，是几何函数论的基础，1854年 定义了黎曼积分，又提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。 同年在他的另一篇论文中引入n维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲 率，开辟了几何学的新领域。1857年他在关于阿贝尔函数的论文中，引入了黎曼面 概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858年他关于素数分布的论文，用黎曼函 数论述了素数的分布，开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点分布 的黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论 等方面都有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。