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目的 公式 例题 小结
等差数列与等比数列基本公式
• 等差数列
• an-an-1=d(常数)
• an=a1+(n-1)d
• a,A,b等差,则A= a b
2
Sn=
n(a1
2
an
)
na1
n(n
1)d 2
• 等比数列
• an/an-1=q(常数) • an=a1qn-1 • a,G,b等比,则G2=ab
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.
解法2:
如图:a1,a2,a3,a4 等差
a-d,a,a+d
已知和为12 =>a-d+a+a+d=12
等比a1, a-d,a
=>
a d
4 2
或
a 4 d 14
a1
a
d a
2
已知三数和为19=>
a d 2
解: ∵ ∴
A+B+C=1800 2B=A+C,b2=ac B=600, A+C=1200
由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC
3 1[cos(A C) cos(A C)] 1[ 1 cos(A C)]
42
22
cos(A C) 1 A C
故 A=B=C, 公差 d=0.
解法1: 如图:a1,a2,a3,a4
等比
等差2a3=a2+a4
(a2)2=a1a3
已知:
已知:
a2+ a3+ a4 =12
a1+a2+a3=19
a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4
a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2
a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,
于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3
再由 akn a1qn1 a1 (kn 1)d
∴可解出kn,进而求出 k1 k2 k3 ...... kn
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an} 的部分项组成下列数列:ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
• a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+ a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;
• {an}等比Sn=c(qn-1) (c≠0)
• {an}等比且an>0,则{lgan}等差;
Hale Waihona Puke anS1,(n 1) Sn Sn1,(n
2)
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.
解: S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差10d.
(S10 S20
a1 a2 S10 a11
...a..1.2a.1.0.... 10a(2a0121a01(0a)1125(a22a01)
9d
)
5(2a1 19d ) ∴ (S20-S10)-S10=10d)
S110-S100=S10+(11-1)10d
S100
10S10
100a1
100 99d 2
10[10a1
10 9d 2
]
50 90d 990 =>10d=-11/5
∴S110-S100=S10+(11-1)10d=100+10(-11/5)=78 S110=78+S100=88
3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( )
ad
a
19
a
四数为: 9,6,4,2或
25,-10,4,18.
归纳
为了便于解方程，应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关项的数量关系，促使复 杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的 解决方法。
练习1
练习1
1. 已知等比数列{an}中,an>0,
且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
( A)
(A)5 (B)10 (C)15 (D) 20
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
S100=10,则S110=
(A)
(A)88 (B)-90 (C)110 (D)-110
3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比
数列,则三内角的公差为
(A )
(A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450
• Sn=
na1 (q=1)
a1 (1 qn ) 1q
a1 anq , (q 1) 1q
等差数列{an},{bn}的性质:
• m+n=k+l,则am+an=ak+al;
• {nk}等差,则 ank 等差;
• {kan+b}等差;
• {k1an+k2bn}等差;
• a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+ ......+a3n,........等差.
1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2 原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
S100=10,则S110=
()
(A)88 (B)-90 (C)110 (D)-110
解: {an}为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
分析: 根据数列{an}是等差数列,通项可写作:
an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,
• {an}等差Sn=cn2+bn (c≠0)
•
.Sn Sn'
a2n1 b2n1
an
SS1n,
(n 1) Sn1,
(n
2)
等比数列{an},{bn}的性质:
• m+n=k+l (m,n,k,l∈N),则aman=akal;
• {nk}等差,则 ank 等比;
• {kan}等比;
• {k1ank2bn}等比;