香农采样定理采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字，称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中，我们可以得出以下结论：•如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N•相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

•以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。

在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz 的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。

在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的。

混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和振幅改变了以下两种措施可避免混叠的发生：1.提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；2.引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。

从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的。

因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。

不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。

减采样当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠。

为了满足采样定理的要求，信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。

这个用于避免混叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器。

[编辑]參考資料• E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp.181-194, 1915•H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans.AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.•V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications," Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian).• C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.光学基础知识：摄影镜头调制传输函数MTF解读镜头是摄影师和摄影爱好者投资最高的设备之一，也是决定拍摄质量的最重要的因素。

因此，镜头的质量，历来受到极大的重视。

我们当然会很关心摄影镜头的测量方法。

摄影的最终产品是照片，所以，根据拍摄照片的质量来评价镜头质量，这是我们最先想到的，也是最基本的测试镜头的方法。

实拍照片评价镜头质量的优点是结果直截了当，根据效果判断，比较放心。

不过决定照片质量的客观因素很多，而一张照片的“好”与“坏”又需要人的主观判断，很难通过测量得出客观的定量结果。

大量的事实表明，影响拍摄质量最重要的因素是镜头的分辨率和反差。

反差大小可以通过仪器很容易测量，而分辨率就不那么容易了！现在我们经常采用拍摄标准分辨率板的方法测量镜头的分辨率。

将拍摄了标准分辨率板的底片放到显微镜下人工判读，看最高能够分辩多少线条密度。

分辨率的单位是线对/毫米(lp/mm)，一黑一白两条线算是一个线对，每毫米能够分辩出的线对数就是分辨率的数值。

由于这种方法还是要受到胶片分辨率的客观影响和人工判读的主观影响，所以并不是最准确最理想的方法。

现在，让我们从另一个角度出发，将镜头看作一个信息传递系统：被拍摄景物反射出来的光线是它的输入信息，而胶片上的成像就是它的输出信息。

一个优秀的镜头意味着它的输出的像忠实的再现了输入方景物的特性。

喜欢音响的朋友都知道，高保真放大器的输出，应当准确地再现输入信号(图1)。

当输入端输入频率变化而幅度不变的正弦信号时，输出正弦波信号幅度的变化反映了放大器的频幅特性。

频幅特性越平坦，放大器性能越好(图2)！图1 放大器准确再现输入信号图2 放大器的频幅特性类似的方法也可以用来描述镜头的特性。

由数学证明可知，任何周期性图形都可以分解成亮度按正弦变化的图形的叠加，而任何非周期图形又可以看作是周期图形片断的组合。

因此，研究镜头对正弦变化的图形的反映，就可以研究镜头的性能！亮度按正弦变化的周期图形叫做“正弦光栅”。

为了描述正弦光栅的线条密度，我们引入了“空间频率”的概念。

一般正弦波的频率指单位时间(每秒钟)正弦波的周期数，对应的，正弦光栅的空间频率就是单位长度(每毫米)的亮度按照图3 正弦光栅典型的正弦光栅如图3所示。

相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期，单位是毫米。

空间周期的倒数就是空间频率(Spatial Frequency)，单位是线对/毫米(lp/mm，linepairs/mm)。

正弦光栅最亮处与最暗处的差别，反映了图形的反差(对比度)。

设最大亮度为Imax，最小亮度为Imin，我们用调制度(Modulation)表示反差的大小。

调制度M定义如下：M=(I max－I min)/(I max＋I min)很明显，调制度介于0和1之间。

调制度越大，意味着反差越大。

当最大亮度与最小亮度完全相等时，反差完全消失，这时的调制度等于0。

我们将正弦光栅置于镜头前方、在镜头成像处测量像的调制度，发现当光栅空间频率很低时，像的调制度几乎等于正弦光栅的调制度；随着空间频率的提高，像的调制度逐渐单调下降；空间频率高到一定程度，像的调制度逐渐降低到0、完全失去了反差！正弦信号通过镜头后，它的调制度的变化是正弦信号空间频率的函数，这个函数称为调制传递函数MTF(Modulation Transfer Function)。

对于原来调制度为M的正弦光栅，如果经过镜头到达像平面的像的调制度为M ’ ，则MTF函数值为：MTF值= M ’ / M可以看出，MTF值必定介于0和1之间，并且越接近1、镜头的性能越好！如果镜头的MTF值等于1，镜头输出的调制度完全反映了输入正弦光栅的反差；而如果输入的正弦光栅的调制度是1，则输出图像的调制度正好等于MTF 值！所以，MTF函数代表了镜头在一定空间频率下的反差。

MTF综合反映了镜头的反差和分辨率特性，MTF是用仪器测量的，因而可以完全排除胶片等客观因素的影响和人工判读的主观因素影响，是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。

MTF值不但受镜头像差影响，还要受到空间频率、光圈和像场大小三个变量的影响，所以一般绘制二维的MTF曲线时都是固定空间频率、光圈和像场三个变量中的两个、剩余一个作为横坐标，并且以MTF值作为纵坐标。

镜头是以光轴为中心的中心对称结构，像场中心各个方向的MTF值是相同的。

但是受到镜头像散的影响，在偏离中心的位置，沿切线方向的线条与沿径向方向的线条的MTF值往往是不同的！我们将平行于直径的线条产生的MTF曲线称为弧矢曲线，标为S (sagittal)，而将平行于切线的线条产生的MTF曲线称为子午曲线，标为M(meridional)。

这样，我们绘制的MTF曲线一般有两条：S 曲线和M图4 子午方向和弧矢方向空间频率很低时，MTF值趋于一个接近于1的固定值。

这个值实际就是镜头对大面积色块的反差，反映了镜头固有的反差值。

随着空间频率增高，MTF 值逐渐下降，直到趋于0。

人眼对反差为0.05的影像尚能分辩，而当反差低于0.02时就完全不能察觉了。

所以一般选定MTF值为0.03时的空间频率作为镜头的目视分辨率。

这样，通过MTF曲线的绘制，镜头的反差和目视分辨率就都成为可测量的了！图5是MTF值随空间频率变化的情况，我们称之为“频幅曲线”。

图中，根据低频时的MTF值和MTF等于0.03时的空间频率，可以方便的得出镜头的反差和目视分辨率。