杨辉，南宋时期杰 出的数学家和数学 教育家
＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
总结：逆用二项式定理可以化简多项式，
体现的是整体思想．注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢．
活学活用（二）
化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解]: 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－C55＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
同：展开的过程就是取球的过程； 异：取球ab，ba属两种方法，展开式中的ab，ba
可合并同类项。
问题3：将（a b）2展开并整理后，各项的系数与取球 问题中有何联系？
整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数， 即取球问题中分类计数原理的各类结果数。
即（a b）2 a2 2ab b2 C20a2 C21ab C22b2
(a b)2 (a b)(a b)

aaabbabb
a2 2ab b2
项的形式： a 2
ab
问：合并同类项后的展 开式中，共有几项？
b2 每项的次数为几次？
项的系数： C20
C21
C2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab (a b)(a b) (a b)(a b)
典例导航
例1 在(2x 1 )5的展开式中
x
（1）请写出展开式的通项。 （2）求展开式的第4项。 （3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。
（4）求展开式中含 x3 的项。
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？
析：(2 x)5 2 (x)5
(n N)
1.项数规律：
展开式共有n+1项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律： （1）各项的次数和均为n； （2）二项式的第一项a的次数由n逐次降到0， 第一项b的次数由0逐次升到n.
注意：公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
C32
C33
有几项？ 每项的次数
分析a2b (a b)(a b)(a b)
为几次？ 展开式项的
(a b)(a b)(a b)
C31
排列方式如 何？（按照a
(a b)(a b)(a b)
的降次幂还 是升次幂排
列的？）
展开式：
(a
b)3
C30a 3
C
31a
2b
C
2 3
ab2
C33b3
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
还是升次幂排列的？）
C21
展开式：
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2
探究2 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b) 请用分步乘法计数原理
解释一下？问：合并同
项的形式：a 3
a2b
ab2
b 3 类项后的展 开式中，共
项的系数：C30 C31
第四类，全部取b, C33种，
即共C30 C31 C32 C33 8种
问题5: 请写出（a b）3展开后的多项式 .
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
a3 3a2b 3ab2 b3
练习：谁能快速写出将 （a b）4展开后的多项式 ?
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
问题4：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小 球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多 少种不同的取法？
请用分类计数原理进行分析
第一类，三次都不取 b, C30种； 第二类，任一次取b, 其他两次取a, C31 C22 C31种，
第三类，任两次取b, 其他一次取a,C32 C11 C32种，
问题6: 将（a b）n展开并整理后的多项式 ？
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
二项式定理
(n N )
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N )
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
课堂小结
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(1)二项式系数： Cnk , (k 0,1,2,3 n)
(2)二项展开式的通项： Tk 1 Cnk a nkbk
2．典型例题
方法
(1) 求形如 (a 的b)展n 开式问题。
直接利用二项式定理
二、讲授新课
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个 小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共 有多少种不同的取法？
请分别用列举法、分类计数原理进行分析。
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？
列举法：aa，ab，ba，bb
x
的展开式，并求该展开式的第
3
项.
解： Tr1 C4r
x 4r 1 r 2
1
r
x
1 r 2r C4r x2r
x
1
4
2 x
x2 21 C41 x 22 C42 23 C43 x1 24 C44 x2
x2 2x 3 1 x1 1 x2 2 2 16
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
x
（3）求 x 1 7的展开式中x的二项式系数.
x
注：一个二项展开式的某一项的二项式系数与
这一项的系数是两个不同的概念。
活学活用（一）
求
x－2
1
4
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 究形如 (a b的)n展开式问题。
二项展开式的结构特征：
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n，
③展开式中项的排列方式如何？
字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
探究3 仿照上述过程,推导 (a b)4的展开式.
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2 (a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 (a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
T3 T21
1
2
22
C42
x22
3 2
四、理论迁移（二）
例2
化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋
(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]:
原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ， ，Cnn 有何性质.
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
把各项的系数 Cnk , (k 0,1,2,3 n)叫做二项式系数
即（1）二项式系数: Cnk , (k 0,1,2,3 n)
式中 Cnk a nkbk 叫做二项展开式的通项， 为展开式的第k+1项，用 Tk 1 表示
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？ 每项的次数为几次？
探究1 推导 (a b)2的展开式.