1 7 13 19 24
8 14 20 25 2
15 16 21 3 9
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于 3 阶幻方 的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图： 其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。” 1 4 7 5 2 3 3 4 5 9 2 7 4 9 2 7 5 3 8 1 6
幻方
8
3
1
5
6
7 幻方
4
9
2
幻方的定义
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下 竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
幻方有多少
3阶幻方只有1种
4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7 阶幻方有 363916800 种（约三亿 六千四百万）
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
13 8 12 1
•六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7
2
9
26 19 14 15 35
例题2：
补 全 这 个 幻 方
15 3
12
7 10 13 8 17 5
9 5 1 2 7 6
13 11 9 7 5 15
6 8 18 12 14 4
8
4
10 16 2 12
17
12 15 9 19 5
5 25 0 35 10 15
17
13
19 25 11 21
11 5 8 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。 8 •那么标有“☆”的方格内应填入的数是_______.
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21
．
2 11 10 7 4 3 12 6
8
8
3
7
10
5
9
4
11
6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次 某国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
4
9
2
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24
3 18
9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
10 3 8 5 7 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
36 3 4 32 27
31 13 16 25 20 6
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 22 4 10 11
23 5 6 12 18
6
1
19
14
2
22
15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法） 在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
1
1
3 2
1 2 1 5 6
1
1
3
4 1 3 4 5 2 6 7 2
3 4
8 3 4
5 2
1 5 6 7 2
3 4 8 3
2
1 5 6 7
8
9
6
8
1
6
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构 造过程。
1 6
11 7
2
3
16
21 17
12
13
8
9
4
5
22
23
18
19 24 25
14
15 20
10
25子斜排
25 24 20
11
4 12
7
8
3
16
5
10
17
18 23 6
13
14 19 2 1
9
22 15
21
上下对易，左右相更
25 11 4 4 17 10 10 23 24 24 12 5 18 6 6 7 25 13 1 19 20 20 8 21 14 2 2 3 16 16 9 21 22 22 15
5
1
四维挺进
11 4 17
24 12 5
7 25 13
20 8 21
3 16 9
10
23
18
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4 3
9 5
2 7
8
1
6
练习1：
17
4
12
6 11 16 10 18 5
练习2：
15
3 12 5
7 10 13 8 17
3 ☆ 7
64在空格Fra bibliotek填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
23 16 21 18 20 22 19 24 17
下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
17 ?
19
13