1 0 2 0
[
I11,
I12
,
I21
,
I
22
]
0 4
1 0
0 3
2
0 1 0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
2
[ f1, f2, , fn]
0
0
0
0 0 0
0
0
n 1 0
所以， D在R[x]n的自然基 f1, f2,…, fn下的矩阵为
0 1 0
0
0
0
2
0
0
0
0
n 1
0 0 0
0
▌
例 在矩阵空间R2×2 上构造线性变换 ： ( X )=AX, X R2×2
这里
A
, n ，则
a11 a12
A1
a21
a22
an1
an2
a1n 1
a2n
0
1
ann
0
a11
A 2
a21
an1
0
a12 a22
a1n a2n
1
0
2
an2
ann
0
a11 a12
A n
a21
a22
an1
an2
a1n 0
a2n
0
n
ann
因
( x1, x2 , x3) ( y1, y2 , y3) ( x1 y1, x2 y2 , x3 y3)
x3 y3, 0, ( x2 y2 ) 2( x1 y1)
( x3, 0, x2 2x1) ( y3, 0, y2 2y1)
( x1, x2, x3) ( y1, y2, y3)
其中
A (1), (2 ), , (n )
a11 a12
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
ann
而 1,2, ,n 是Fn的自然基 。
定义 设是线性空间Vn 中的线性变换，在 Vn 中取定一个基 1,2,,n ，如果这个基在变换
下的象为
1 a111 a212
2
a121
0 0
1
4
I12 4I22
(
I 21 )
AI21
1 4
20
3
1
0 0
2 3
0
0
2I11 3I21
( I22 )
AI22
1
4
20
3
0
0 1
0 0
2 3
2I12 3I22
所以，
[I11, I12 , I21, I22 ] [ ( I11), ( I12 ), ( I21), ( I22 )]
例 设D是多项式空间R[x]n上的求导变换，求D 在R[x]n的自然基下的矩阵。
解 取R[x]n的自然基 f1=1, f2=x, f3=x2,…, fn=xn-1
则由 D(f1)=0, D(f2)=1, D(f3)=2x,…, D(fn)=(n-1)xn-2
可得
D[ f1, f2, , fn] [D( f1), D( f2 ), , D( fn)]
1
即
i Ai (i ), i 1, 2, , n
因此，如果Fn上的一个线性变换具有形式
( ) A , F n
则矩阵A的各列应为
(i ), i 1, 2, , n
反之，如果Fn上的一个线性变换 使
(i ) i , i 1, 2, , n
则以 1,2, ,n 为列构造矩阵A，必有
一、线性变换的矩阵表示式
设数域F上的n阶方阵
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
[1 , 2
,
ann
,n]
其中
a1i
i
a2 i
,
i 1, 2,
,n
ani
构造向量空间Fn上的变换 ：
( ) A , F n
则 是线性变换。取Fn的自然基 1,2,
k( x1, x2, x3) (kx1, kx2, kx3)
(kx3, 0, kx2 2kx1) k( x3, 0, x2 2x1)
k ( x1, x2, x3)
所以， 是线性变换。
（2）取R3的自然基
1 (1, 0, 0),2 (0,1, 0),3 (0, 0,1)
因
(1) (1, 0, 0) (0, 0, 2) 23 (2 ) (0,1, 0) (0, 0,1) 3 (3) (0, 0,1) (1, 0, 0) 1
故
[1,2,3] (1), (2 ), (3)
0 0 1
[1,
2
,
3]
0 2
0 1
0 0
即， 在R3的自然基 1,2,3 下的矩阵为
0 0 1
0 2
0 1
0 0
▌
例 设是向量空间Fn上的一个线性变换，且
( ) A , F n
则 A是 在Fn的自然基 1,2 , ,n下的矩阵。
1 4
2 3
求 在R2×2的自然基下的矩阵。
解 取R2×2的自然基
1 0 0 1 0 0 0 0
I11
0
0 ,
I12
0
0
,
I 21
1
0
,
I 22
0
1
因为
( I11)
AI11
1
4
21
3
0
0 0
1 4
0 0
I11 4I21
( I12 )
AI12
1
4
20
3
0
1 0
a222
n a1n1 a2n2
an1n, an2n,
annn ,
记 1,2, ,n 1 , 2 , , n , 上式
可表示为
1,2, ,n [1,2, ,n]A
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
那末，A就称为线性变换在基 1,2 , ,n 下的
矩阵。
例 零变换 0*在任一组基下的矩阵都是零矩阵，恒 等变换 I*在任一组基下的矩阵都是单位矩阵。
注 取定数域F上的n维线性空间V 的一组基1,2,…, n，则V 的线性变换在基1,2,…,n下的矩阵是数域F
上的n阶方阵且唯一确定； 反之，对数域F上的任一n阶
方阵A，V上存在唯一一个线性变换 使其在基1,2,…, n下的矩阵是A。
即，在取定基后，线性变换与其矩阵一一对应。
例 在3维向量空间R3中，构造变换 ：
[(x1,x2,x3)]= (x3,0, x2 -2x1)， (x1,x2,x3)∈R3
（1）证明 是线性变换； （2）求在R3的自然基下的矩阵。
解 （1）任取 ( x1, x2 , x3), ( y1, y2, y3) R3, k R，
( ) a11 a22 ann
a1 (1) a2 (2 ) an (n)
a1
(1), (2 ),
,
(
n
)
a2
[1,2, ,n] A
an
这里， = (a1, a2,, an)T。
于是，向量空间Fn上的任意一个线性变换 均可
表示为
( ) A , F n