• 解：设y1辆为使用甲型货车，y2辆为使用乙型 货车，则有 • 目标函数： • Min f =400y1+300y2 • 约束条件： • s.t. 20 y1 + 10 y2 ≥100 • y1 ≤ 4 • y2 ≤8 • y1 ，y2≥0 • 这就是例1 的线性规划模型。
•
例2. 某工厂计划在某个月安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、 B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
当约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi
类似地令
时，
s=(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，这时新的约 束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s,当不等式为 “小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时 称为“剩余变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其 转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量和剩余 变量。
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有 的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
• 四、线性规划问题解的几种情况(p15)： • 1.唯一最优解。例1 2.无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2 则线段BC上的所有点都代表了最优解； 3.无界解(无最优解)。即可行域无界，目标函数值可以 无穷大或无穷小。一般来说，这可能是忽略了一些必 要约束条件，因实际问题不可能有如此宽松的环境； 4.无可行解(无解)。若在例1的数学模型中再增加一个 约束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解。如果实际问题出现这种情况，说 明约束过紧或无可行决策方案。
• 4. 几点注意 • 1) 目标函数与约束条件必须线性，否则是非线 性规划； • 2) 决策变量是连续分布的，否则可能是整数规 划； • 3) 目标是单一的，否则是多目标规划； • 4) 决策变量的系数是确定的不变的.
§2 图 解 法
一、几个名词
1.可行解(p11) ：满足所有约束条件的解称为该线性规划 问题的可行解(或可行方案)。 2.最优解、最优值：使目标函数值达最大(或最小)的可 行解称为该线性规划问题的最优解，此目标函数值称 为最优值。 3.可行域(p12) 线性规划问题可行解的集合称为可行域。 二、图解举例
开课前的话
• • • • • • • • • • 1.课程及参考书 课程名：运筹学 课程类别：专业基础课, 必修. 教材:韩伯棠编著,管理运筹学, 高等教育出版社 参考书: 1)钱颂迪主编,运筹学 清华大学出版社，1990年第2版 2)韩大卫编著,管理运筹学, 大连理工大学出版社
• 2.讲授学时与内容 • 1) 学时：36 • 2) 讲授主要章节：第2章，第3章， 第4章；第12章; 第13章;第16章等。 另外还有1个案例。
约束条件： a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点： 1)目标函数最大化； 3)决策变量均非负； 2)结构约束为等式； 4)结构约束右端项非负。
2 1
500
400
2x1+3x2 =1200
A
2x1+x2 =600 2x1+3x2 =900
300
200 100
B
Q
100 200 300 400
x1+x2 =350 2x1+3x2 =800 500 600
§3 线性规划模型标准形式及图解法的灵敏度分析
• 一、标准形式(p17) • 目标函数 Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
• 五、目标函数最小化举例
例2 某公司计划用A、B两种原料配制79-1消毒液
350吨，技术规定其中A原料至少需要125吨。现生产每
吨A原料需要2小时，生产每吨B原料需要1小时，生产成
本分别为，每吨A原料2万元，每吨B原料3万元，而公司 计划期最多能提供600个小时生产A、B原料。 划期应如何配制方能使生产A与B的总成本最低? 问：计
得到最优解：x1 = 50，
x2 = 250
最优目标值 z = 27500
第一步
确定可行域
(1)作直角坐标系：分别取决策变量X1 , X2 为坐标
向量建立平面直角坐标系。在直角坐标系里，图上任
意一点的坐标代表了决策变量的一组值。 （2）作直线：对每个不等式，先取其等式在坐标系 中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。 （3）确定可行域：把五个图合并成一个图，取各约 束条件的公共部分，如图2-1所示。 第二步 确定最优解和最优值 (1)改写目标函数为： x2=-(50/100) x1+z/100
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可
以通过以下变换，将其转化为标准形式:
二、化一般形式为标准形式
1.极小化目标函数的问题：
设目标函数为
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
(可以)令 z ＝ -f ，
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … -取某一固定值时得到一 条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称 之为“等值线”。平行移动等值线得到以Z为参数的平 行线族，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。 (3)确定最优解和最优值：B(50,250) Z=27500。
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
• • • 2.线性规划模型三要素： 1) 决策变量 用符号来表示可控制的因素 2) 目标函数 Max Z 或 Min F 3) 约束条件 s.t. (subject to) 满足于
• 3. 线性规划模型一般形式(p12)
目标函数：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ ( =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ ( =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ ( =, ≥ ) bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
• 问题： • 1）工厂应分别生产多少Ⅰ、Ⅱ产品，才能使获总 利润最多？
• 2）若工厂不生产产品，改出售资源，应如何确定这三 种资源的单位利润，使出售资源的总利润不低于出售 产品的总利润？ • 解： 1) 设x1，x2分别表示 Ⅰ、Ⅱ两产品的产销量， 则有
• 3.右端项有负值的问题： • 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当 某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束 两端同时乘以-1，得到： • -ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。 • 4.变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某 一个变量xj为无符号约束时，可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量， 当然xj的符号取决于xj’和xj”的大小。
• 3.学习及考试要求： • 本课程重在36学时的学习，学了什么考什么， 闭卷考试。故要求坚持听课；选择笔记；思考问 题；认真作业。 • 4.最终成绩形成： • 平时分×0.4＋期末考试分×0.6 + 回答问题分 • 平时成绩： • 1)考勤20分。 • 2)案例分析20分。 • 期末考试：下学期考。考讲了的题目。
对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平 面直角坐标系上作图求解。
下面通过例1详细讲解其方法：
例1. 目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件(s.t.) ： x1 + 2 x1 +
x2 x2 x2 x1 x2
≤ ≤ ≤ ≥ ≥
300 400 250 0 0
(A) (B) (C) (D) (E)
• 目标(利润)函数： • Max z = 50 x1 + 100 x2 • 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300 • 2 x1 + x2 ≤ 400 • x2 ≤ 250 • x1 , x2 ≥ 0
• 这就是问题1的线性规划模型。 • 下面讨论问题2的线性规划模型
• 解：2) 设y1，y2，y3分别为设备、原料A、 原料B的单位利润，则有 • 目标(利润)函数： • Min f =300y1+400y2+250y3 • 约束条件： • s.t. Y1 + 2y2 + 0y3 ≥50 • Y1 + y2 + y3 ≥100 • Y1，y2，y3≥0 • 这就是问题2的线性规划模型
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们