圆中的基本概念及定理（讲义）➢ 课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为______，固定的线段长称为_______，还知道半径为r 的圆的周长为_________，面积为__________．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形． 顶点在圆心的角叫做圆心角．➢ 知识点睛1. 平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作_____．2.圆中概念：弧：_________________________；弧包括______和_______； 弦：_______________________________________________； 圆周角：___________________________________________； 圆心角：___________________________________________； 弦心距：___________________________________________． 3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________； 圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________．4. 圆中基本定理：*（1）垂径定理：___________________________________________________________________________________； 推论：_________________________________________ ______________________________________________； 总结：知二推三①_______________________________， ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________． （2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：___________________________________；推论1：________________________________________； 推论2：________________________________________，_______________________________________________推论3：_______________________________________． （4）三点定圆定理：_________________________________．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．➢ 精讲精练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD第1题图 第2题图2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB ，则⊙O 的半径为_________．3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．第3题图 第4题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．5. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB=BCD =_______．第5题图 第6题图6. 如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD =50°，则∠ACD =________．7. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为________．第7题图 第8题图8. 如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，经过A ，B ，E 三点的⊙O 与边BC 交于点F ，P 为AB ︵上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4，则sin ∠P 的值为__________．9. 如图，∠AOB =100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A ，B 重合，则∠ACB 的度数为（ ） A ．50°B ．80°或50°A BC DRAD BO ECBBOAC ．130°D ．50°或130°10. 如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO ．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于F ，G 两点，连接EF ．若∠BAC =22°，则∠EFG =______．11. ∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为__________．12. 如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点________．13. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块第13题图 第14题图14. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．15. 已知O ⊙的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB =24 cm ，CD =10 cm ，则AB ，CD之间的距离为_________________．【参考答案】 ➢ 课前预习圆心，半径，2πr ，πr 2➢ 知识点睛1. 定点，定长，定点，定长，⊙O ．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，优弧，劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距． 3. 任意一条过圆心的直线；圆心．4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；①过圆心的直线；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧． （2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距． （3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．（4）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，外接圆，内接三角形，三角形三边垂直平分线的交点，外心．➢ 精讲精练1. D2. 3. 8 4. 13 m 5. 30° 6.40°7. cm8. 359. D 10. 33° 11. 128° 12. Q 13. B14.15. 7 cm 或17 cm圆中的基本概念及定理（随堂测试）1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，若∠B =40°，则∠ACD =____________．3. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD=∠AED =___________．【参考答案】1. 2502. 50︒3. 30︒圆中的基本概念及定理（习题）➢ 巩固练习1. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB 为10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 为6，则水面宽AB 的长为（ ） A ．16B ．10C ．8D ．6 BDC OAAB EOD CBA第1题图 第2题图2. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则下列说法不一定正确的是（ ） A ．AD =BD B ．∠ACB =∠AOE C ．AE ︵=BE ︵D ．OD =DE3. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，若∠BOC =70°，则∠A 的度数为（ ） A ．70°B ．35°C ．30°D ．20°第3题图 第4题图4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ） A ．1BC ．2D．5.6. 第6题图 第7题图7. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =AODCOCBA__________．8. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC =108°，若点D 在AB 的延长线上，且BD =BC ，则∠D =_________．第8题图 第9题图9. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB =20°，则∠OCD =_________． 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．第10题图 第11题图11. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________．12. 如图，若△ABC 的顶点都在⊙P 上，则点P 的坐标是________．第12题图 第13题图13. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________．14. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，若四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD =______．O DCBACD BOADC第14题图第15题图15. 如图，∠PAC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，则线段EF 的长是___________cm ．➢ 思考小结1. 圆中处理问题的思路①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．2. 中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半． 3. 阅读材料回答问题如图，在锐角△ABC 中，BC =a ，CA =b ，AB =c ，△ABC 的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b cR A B C===．证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点D ，连接DB ，则∠D =∠A ∵CD 为直径， ∴∠DBC =90°A在Rt △BDC 中，sin 2BC aD DC R==∴sin 2a A R =，即2sin a R A =． 同理可证2sin sin b cR B C ==∴2sin sin sin a b c R A B C ===．阅读前面的命题及证明，完成下面的①②两个小题．①前面的阅读材料中略去了“2sin b R B =”和“2sin cR C=”的证明过程，画出图形并证明2sin bR B=．②直接用前面阅读材料中的结论解题已知，在锐角△ABC中，BC CA ==∠A =60°，求△ABC 的外接圆半径R 及∠C 的度数．BAC【参考答案】➢巩固练习1.A2.D3.B4.D5.B6.30°7.20°8.27°9.65°10.411.26寸12.(-2，-1)13.14.60°15.6。