《多元统计分析》课程试卷答案A 卷2009年秋季学期开课学院：理考试方式：√闭卷、开卷、一纸开卷、其它 考试时间：120 分钟班级 姓名 学号散卷作废。

一、（15分）设()∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,~3321μN x x x X ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132μ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑221231111，1．求32123x x x +-的分布；2. 求二维向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21a a a ，使3x 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-213x x a x 相互独立。

解：1.32123x x x +-()CX x x x ∆⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321123，则()C C C N CX '∑,~μ。

（2分）其中：μC ()13132123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，()9123221231111123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∑C C 。

（4分）所以32123x x x +-()9,13~N （1分）2. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-2133x x a x x =AX x x x a a ∆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32121110，则()A A A N AX '∑,~2μ。

（1分）其中：订线装μA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132113*********a a a a，（1分） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+++--+--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='∑2422322222110022123111111002121222121212121a a a a a a a a a a a a a a A A （2分）要使3x 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-213x x a x 相互独立，必须02221=+--a a ，即2221=+a a 。

因为2221=+a a 时2422321212221+--++a a a a a a 0>。

所以使3x 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-213x x a x 相互独立，只要⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21a a a 中的21,a a 满足2221=+a a 。

（4分）二、（14分）设一个容量为n=3的随机样本取自二维正态总体，其数据矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3861096X ，给定显著性水平05.0=α，1. 求均值向量μ和协方差矩阵∑的无偏估计2. 试检验,38:H 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μ .38:H 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠μ （已知F 分布的上α分位数为19)2,2(F ,5.199)1,2(F ,51.18)2,1(F 0.050.050.05===）解：1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=68X n 1X n1i i （3分） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='--=∑=9334)X X ()X X (1-n 1S i n1i i （3分） 2、,38:H 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μ .38:H 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠μ…（1分）在原假设成立的条件下，检验统计量为：)38X ()n /S ()38X (T 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- (3分) 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=68X n 1X n 1i i ，)9334()X X ()X X (1-n 1S i n1i i --='--=∑= 4)3868()3/93-34()3868(T 12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-…………………………(2分) 5.199)1,2(F 1T p)1n (p n F 05.02=<=--=……………………………….(1分)所以接受原假设。

（1分）三、 （20分）据国家和地区的女子田径纪录数据，数据如下表：基于相关矩阵对上述数据进行因子分析，利用SPSS 软件所得部分运算结果如下：求：1. 写出正交因子模型；2. 给出表3.3中Bartlett's Test of Sphericity的原假设和备择假设，对此结果做出解释；3. 根据上述运算结果，试填写下表并对两个旋转因子的含义做出解释； 4. 解释共同度及累计贡献率的含义； 5. 写出两个旋转因子的因子得分表达式。

解：1.（5分）2．p p I H I H ≠=ρρ:,:10，由P 值05.0<，所以拒绝原假设，即相关矩阵不是单位矩阵。

（2分）3．（7分）εμ+Λ+=f X ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ψ====⨯221,,,0)(E 0,CO 0p p k k diag f V If D f E ψψεεε 的协方差阵令： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p x x X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p μμμ 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k f f f 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p εεε 1()k p ij ⨯=Λλ—特殊因子—因子载荷矩阵*1f 表示长跑耐力因子，*2f 表示短跑速度因子。

4. 共同度表示提取的前k 个公因子反映第i 个原始变量的信息程度。

累计贡献率表示提取的前k 个公因子对所有原始变量的解释程度。

（2分）5.42954.302533.173X 417.082434.04476.9X 406.033243.03255.4X 417.010822.00764.2X 247.067834.24058.53X 084.011106.16416.23X 328.045221.06185.11X 288.0f 7654321*1-+-+-+-+------=42954.302533.173X 240.082434.04476.9X 214.033243.03255.4X 226.010822.00764.2X 038.067834.24058.53X 333.011106.16416.23X 597.045221.06185.11X 555.0f 7654321*2---------+-+-=（4分）四、（20分）文件Poverty.sav 是美国1960-1970年随机选择的30个城市的人口调查结果，其中Y 表示该郡低于贫困线的家庭比例，X1表示1960-1970年间人口变化，X2表示从事农业人口数，X3表示居住与农场税率，X4表示住宅电话拥有率，X5表示农村人口比率，X6表示人口年龄中位数。

利用spss 进行多元线性回归分析，结果如下：求：1. 解释表4.2中“R ” ，“R Square ” 及“Adjusted R Square ”的含义； 2. 写出表4.3 Model 2所检验的原假设和备择假设，当显著性水平05.0=α时，给出检验的结论；3. 给定检验的显著性水平05.0=α，多元线性回归方程的回归系数t 检验是否显著，解释原因；4. 当X1=10.7，X2=1850，X3=0.93，X4=74，X5=70.6，X6=28.7时，写出y 的预 测值；5. 解释表4.4 中偏相关系数的含义，并对Model 2 中偏相关系数的结果进行解释。

解：1. R 的线性关系的大小。

与为一个整体的为复相关系数，衡量作Y X X X p ,,21 R Square 称为判定系数或决定系数，它反映了回归方程的拟合程度，其值越大，说明回归方程的拟合程度越高，反之，拟合程度越低。

总离差平方和回归平方和===SST SSR R Square R 2。

Adjusted R Square 为)1()1(12----=n SST p n SSE R a ，与R Square 一起反映回归方程的拟合程度，其值越大，说明回归方程的拟合程度越高，反之，拟合程度越低。

（4分） 2．令21ββ，分别表示自变量41,X X 对应的的回归系数的表4.3 Model 2所检验的原假设和备择假设为中至少有一个不为零，211210,:0:ββββH VS H ==。

由于检验的05.00=<=α值p ，因此，拒绝原假设0H ，即认为回归方程线性显著。

（4分）3. 1X 对Y 的线性影响显著，因为t 检验的05.0001.0=<=α值p ；4X 对Y 的线性影响显著，因为t 检验的05.0000.0=<=α值p 。

（4分）4. 多元线性回归方程为：41366.027.0496.52ˆX X Y --=，X1=10.7，X2=1850，X3=0.93，X4=74，X5=70.6，X6=28.7时523.2274366.07.1027.0496.52ˆ=⨯-⨯-=Y 。

（4分）5．偏相关系数指其它变量都在模型里时，所研究自变量对因变量的影响。

X1在模型时，X4与Y 的偏相关系数是-.693，对Y 的影响是负影响。

X4在模型时，X1与Y 的偏相关系数是-.591，对Y 的影响是负影响。

二者对Y 的影响程度大致相当。

（4分） 五、（15分）五个样品间的距离矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0611141805812037040543215 43 2 1试用最短距离法对样品进行聚类。

画出聚类图，并给出聚为两类时的结果。

解：解：（1）距离矩阵为 （2）将2和3合并成6G ，重新计算4类之间的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0611141805812037040543215 43 2 1 （3分）（3分）（2分）（3分） 聚为两类时的结果}4,3,2,1{，}5{ （4分）六、（16分）对破产企业收集他们在破产前两年的年度数据，对财务良好企业也收集同一时期的数据。

数据涉及四个变量，=1x 现金流量/总债务，=2x 净收入/总资产，=3x 流动资产/流动债务，=4x 流动资产/净销售额。

数据列于表6.1 表6.1 企业财务数据（3）将1和6G 合并成7G ，计算3类之间的距离（4）将4和7G 合并成8G ，计算2类之间的距离 （5）画聚类图 6G 7G 9G 5G 4G 3G 2G 1G 8G表6.6 Standardized Canonical 表6.7 UnstandardizedDiscriminant Function Coefficients Canonical Discriminant FunctionCoefficients表6.8 Classification Function1. 指出表6.3的作用，并对表6.3的结果做评价；2. 写出Fisher 判别法的线性判别函数f 的表达式；3. 假定某企业的财务数据08.01=x ，02.02=x ，01.23=x ，53.04=x ，那么，该企业是否面临破产？（分别用Fisher 判别法和Bayes 判别法给出判别结果）；4. 根据表6.9的输出结果，你对本题中的判别方法有何评价？解：1. 表6.3的作用是检验两组的均值是否相等。