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二、 多重共线性产生的原因
由于经济现象的变化涉及多个影响因素，而影 响因素之间常常存在一定的相关性。多重共线性产 生的经济背景主要有几种情形：
1.经济变量之间具有共同变化趋势。
例如，对于收入、消费、就业率等变量，都随宏观 经济的繁荣和紧缩呈现大致相同的波动，在经济上升 时期均呈现增长的趋势，当经济收缩期都呈现下降趋 势。当这些变量同时作为解释变量进入模型时就可能 带来多重共线性问题。
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我们只能估计出系数的线性组合 (?1 ? 2? 2) 的样本 估计值，而无法得到 ?1和? 2 的具体估计。且可以证明
参数估计量的方差为无穷大。
? ? ? ? var(??1) ?
( x1i ? x1 )2
yi=?0+?1x 1i+?2x 2i+? +? kxki+ui i=1,2,…,n
如果存在某解释变量是其他解释变量的线 性组合，则称为存在完全多重共线性（Complete Multicollinearity， Exact Multicollinearity）
即：若存在一组不全为零的常数 ?0 , ?1, ?2 , , ?k
??1 x1n x2n ?
xk1 ?
xk1
? ?
??
xkn
? ?n?
(
k
?
1)
当存在完全共线性时： rank(X)<k+1，即
在数据矩阵X中，至少有一列向量可由其他 列向量线性表示。
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需要强调的是模型中存在完全的多重共线性非 常罕见，一般来讲，通常发生在确定回归变量出错 的时候，即模型中变量选择出现逻辑错误。
第四章 多重共线性
多重共线性（Multicollinearity）一词由弗里希 （Ragnar Frisch，1895—1973）于1934年引入。
原意是指回归模型中的部分或全部解释变量 之间存在完全的线性关系，是对假定MLR.3的违 背，后来人们将这个概念扩展到近似的线性关系。
多重共线性是多元回归建模过程中最常遇到 的问题。本章中我们首先分析与界定完全多重共 线性与多重共线性，探讨多重共线性可能引起的 后果，然后介绍多重共线性的诊断与缓解多重共 线性的补救措施。
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学习目标： 1、了解多重共线性的概念、能区分完全的多重 共线性与多重共线性； 2、了解多重共线性产生的原因； 3、理解多重共线性引起的后果； 4、理解并掌握多重共线性的诊断； 5、掌握缓解多重共线性问题的处理方法。 重点与难点：
无法估计 ??
var(??j )
?
( X'X
)
? ? 1
jj
2 u
；
也没法计算。
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（二）近似（但不完全）多重共线性。 一般的，若解释变量之间无准确的或完全的线性相
关关系，但它们之间存在高度的线性相关性，称模型存 在近似（不完全）多重共线性（ Near Multicollinearity ）。
理解多重共线性是一种样本现象； 深刻理解多重共线性的理论后果与实际后果； 掌握多重共线性的诊断及多重共线性问题的 处理方法。
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第一节 多重共线性问题及其对建模的影响
一、多重共线性的含义
广义的多重共线性包括完全多重共线性和近似 多重共线性。狭义的的多重共线性指的是近似多 重共线性。如果不特加说明，本章使用的是狭义 的多重共线性。
（一）完全多重共线性
多元线性回归模型的古典假定MLR.3是，模型 中解释变量之间不存在完全的线性相关关系，此
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时就称解释变量 x j ( j ? 1,2,..., k ) 之间不存在
完全的多重共线性。
对于模型
使得： ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ? ? k xk ? 0
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?0
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则称模型存在完全多重共线性。
用矩阵表示，解释变量的观测值矩阵为
?1 x11 x21 ?
X
?
??1 ??
x12 ?
x22 ?
? ?
?
x1
(x1 ? ) ] ? 2 2
4[
x1
)2 ( x1i
?
x1
)2 ]2
??2
?
?
同理，可以证明 var(??2 ) ? ?
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用矩阵代数的术语来讲，由于参数的 OLSE为
?? ? ( X'X )?1 X'Y 在完全多重共线性时， X降秩， ( X'X )?1 不存在，故
即若存在存在一组不全为零的常数 ?0 ,?1, ,?k ，使得 ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ? ?k xk ? v ? 0
其中 v 是随机项。称自变量之间存在（但不完全）多重 共线性。本章就是在这个意义上使用“多重共线性”一词 的。
值得强调的是，模型存在（近似）多重共线性并不 违反任何古典假定，但会对回归分析带来不利的后果， 所以要尽力避免自变量之间存在过高的共线程度。
多元线性回归模型中如果存在完全多重共线性， 则参数的最小二乘估计量是不确定的（即无法估计）。 例如二元线性回归模型
yi ? ? 0 ? ?1x1i ? ? 2 x2i ? ui
(4.2)
如果有 x2i ? 2x1i ，则（4.2）式可写为：
yi ? ? 0 ? (?1 ? 2? 2)x1i ? ui
( x1i ? x1 )2Fra bibliotek??2
(x2i ? x2 )2 ? [ (x1i ? x1 )( x2i ? x2 )]2
? ? ? ? ? 4
(x1i ? x1 )2
( x1 ? x1 )2
??2
(x1i ? x1 )2 ? 4[
(x1i ? x1 )( x1i ? x1 )]2
? ? ? ? 4[
( x1i