行列式(矩阵的秩，逆阵等)
内积，外积， 混合积
平面，直线方程
n维向量与方程组的解结构
向量空间
特征值与特征向量(相似、对角化) 二次型
空间曲线，曲面 线性变换
2. 课程内容的三种组织模式
国外： 线性方程组与矩阵
实向量空间
n维向量与向量空间 线性变换与矩阵
特征值与特征向量
特点： (1) 丰富的应用实例 (2) 与软件的紧密结合 (3) 自主学习能力培养
1. 课程的建设与改革历史
2003年，教育部高等教育司委托非数学专业数学基础 课程教学指导分委员会对1995年制定的工科数学课程教学基 本要求进行修订。此次修订中将“线性代数与空间解析几何” 作为一门独立课程写进官方文件。文件中并不要求所有学校 将线性代数与空间解析几何整合成一门课程，各校具有自主 选择权。
例1: 实对称矩阵的分解问题
问题1：
如何将一个秩为r的矩阵Amn表示为r个秩为1的矩阵之和?
解答：
矩阵Amn的秩为r , 则存在m阶可逆矩阵P与n阶可
逆矩阵Q满足
:
A
P
Ir O
O
O
mn
Q.
令Ti为第i行与第i列的元素为1而其余元素都为0
的m n矩阵,则Ti是秩为1的矩阵,因此PTiQ的秩为1, 且A P(T1 L Tr )Q PT1Q PT2Q L PTrQ.
3 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 00 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例1: 实对称矩阵的分解问题
若再继续问，该问什么：
矩阵满秩分解定理 设A是一个秩为r(r>0)的 m n 阶矩阵, 则必存在秩为r 的 m r 阶矩阵G和秩为r的 r n 阶矩阵H，使得
维数, 基变换，行(列)空间) 第四章：线性变换(定义，矩阵表示，相似性) 第五章：正交性(标量积，正交子空间，最小二乘，内积空
间，正交集，G-S正交化过程，正交多项式) 第六章：特征值(定义，线性微分方程组，对角化 ，Her-矩阵，
奇异值分解，二次型，正定矩阵，非负矩阵) 第七章：数值线性代数(浮点数，矩阵范数，条件数，……)
行列式
实二次型
2. 课程内容的三种组织模式
一本国外的经典教材国外： Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications
(Seventh Edition)
第一章：矩阵与方程组 (线性方程组，行阶梯形， 矩阵代数，初等矩阵，分块矩阵 )
第二章：行列式(矩阵的行列式，性质，克拉默法则) 第三章：向量空间(定义，子空间，线性无关，基与
解析几何内容 (几何向量，空间直线与平面，极 坐标，二次曲面等) 都放在微积分内容前讲。
二十世纪七、八十年代初，部分大学的工科数学 教学内容增加了线性代数、概率论与数理统计等，当 时统称为工程数学。
1. 课程的建设与改革历史
二十世纪八十年代后期，多数重点大学把线性代数 独立设课，成为三门工科数学课程之一：微积分、线性 代数、概率论与数理统计。
微积分
解析 几何
线性 代数
线性代数 与解析几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1. 课程的建设与改革历史
线性代数与解析几何课程内容
行列式 矩阵 几何向量 n维向量与向量空间
线性变换
线性代数 与解析几何
线性空间
线性方程组 特征值与特征向量
二次型 空间曲线与曲面
1. 课程的建设与改革历史
近20年的改革成果: (1) 建成独立课程 (2)扩充与重组教学内容 (3)渗透计算软件 (4) 编入应用实例 ……
3. 课程内容的主线与核心
线性代数的起源之一是解线性方程组，线性方程组 的求解作为一条主线贯穿于线性代数课程内容的全部.
它的核心是矩阵(对角化), 主要方法(手段)是线性变 换(初等变换)。
线性代数的教学应该是依照它的主线， 讲出核心和基本方法(教学思想)。
例1: 实对称矩阵的分解问题
实对称矩阵A
这样A就表示成了r个秩为1的矩阵之和.
例1: 实对称矩阵的分解问题
继续问：
如果一个矩阵能表示为r个秩为1的矩阵之和,能 否断定这个矩阵的秩为r？
解答：不能断定这个矩阵的秩为r. 反例：
若再继续问， 应该问什么？
A=(1,2,3)=(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,3)
3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
培养创新思维的教学方法与实践
----谈线性代数课程的建设
李继成
西安交通大学数学与统计学院 高等学校大学数学教学研究与发展中心
2015-12
讲座内容
线性 代数
课程的建设与改革历史 课程内容的三种组织模式 课程内容的主线与核心 线性代数课程的改革
1. 课程的建设与改革历史
二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程 统称为高等数学，教学内容主要以微积分为主，线性 代数仅占很少的一部分(行列式计算和线性方程组求解， 很少的学校根据具体情况讲一点矩阵知识)。
存在正交矩阵 P,使得 A PDPT
P [u1, u2 , , un ], D diag(1, 1, , n )
1
A PDPT (PD)PT (u1, u2 , , un )
2
u1T
u2T
n
unT
1u1u1T 2u2u2T nununT
实对称矩阵的秩1分解
问题: (1) 矩阵可对角化的条件是什么？ (2) 如何计算矩阵的秩1分解？
应用实例：信号处理，情报检索，图像压缩、恢复，
机械震动，电路，管理等
2. 课程内容的三种组织模式
模式1：
行列式
矩阵
内积，外积， 混合积
平面，直线方程
n维向量与向量空间
线性方程组
特征值与特征向量(相似、对角化) 二次型
空间曲线，曲面 线性变换
2. 课程内容的三种组织模式
模式2： 线性方程组消元法 矩阵
1995年，教育部高等教育司委托非数学专业数学基 础课程教学指导分委员会对线性代数课程的教学内容做 了规范化的基本要求, 内容主要包括：行列式, 矩阵, n 维向量(空间), 线性方程组, 特征值与特征向量, 二次型等.
1996-2000, 国家教育部“九五规划”面向21世纪 教改项目:
工科数学教学内容和课程体系改革的研究与实践 全国13个院校参加。