综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2)D ．(1,2]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝1＋x 24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝( )C ．－955．log 43、log 34、log 4334的大小顺序是( )A．log34<log43<log433 4B．log34>log43>log433 4C．log34>log4334>log43D．log4334>log34>log436．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b 的值为( )A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确7．函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( ) C．2 D．48．(2015·安徽高考)函数f(x)＝ax＋b?x＋c?2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <09．(2016·山东理，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)．则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．210．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x－2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝，lg3＝( )A ．19B ．20C ．21D ．22第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4≤1a，则实数x 的取值范围为________．14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ .15．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝错误![(错误!)x－1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ]．那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝错误!(x 2－mx －m . (1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． 一．选择题1.[答案] C[解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}． 3.[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝11＋?－32?2＝1134＝413，所以f [f (12)]＝413，选B. 5.[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1，log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 43 34<0.6.[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ?2?＝2，f ?3?＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ?2?＝5，f ?3?＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.有log 43 34<log 43<log 34.所以选B.7.[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8.[答案] C[解析] 由f (x )＝ax ＋b ?x ＋c ?2及图像可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝bc2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba>0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C.9.[答案] D[解析] ∵当x >2时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x ＋1)＝f (x )，∴f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)， 又当－1≤x ≤1时，f (x )＝－f (－x )．∴f (1)＝－f (－1)，又因为当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 10.[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x－2a x －2>1得a x>3，∴x <log a 3. 12.[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈，∴n ≥21. 二.填空题13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 12>0得0<a <1.由ax 2＋2x －4≤1a得a x 2＋2x －4≤a －1， ∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1.14.[答案] 1<a <54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.15.[答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)． 16.[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2.解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a .f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1，因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题17.[分析] A ∩B ＝B ?B ?A ，A ∪B ＝B ?A ?B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ?A .①若0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ?A .②若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ?A .③若B ＝?，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ?B .∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B . 由(1)知a ＝1.18.[解析] (1)(12)x－1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x－1是减函数，f (x )＝错误!x 是减函数，∴f (x )＝错误![(错误!)x－1]在(－∞，0)上是增函数．19.[解析] f (x )＝ax －1x ＋1＝a ?x ＋1?－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝?a ＋1??x 1－x 2??x 1＋1??x 2＋1?. (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3， 则f (x 1)－f (x 2)＝2?x 1－x 2??x 1＋1??x 2＋1?，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[0,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝?a ＋1??x 1－x 2??x 1＋1??x 2＋1?，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20.[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0，∴f (1－a )>－f (1－a 2)．∵f (x )是奇函数，∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数，则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)．又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3，－2≤m ≤2，?1－m ?2>m 2， 解之得－1≤m <12. 21.[解析] (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a 3＝b －b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足②，即⎩⎨⎧ k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根，且a ≥k ，b >k . 令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ?k ?≥0Δ>02k ＋12>k解得－94<k ≤－2， 所以实数k 的取值范围为(－94，－2]． 22.[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝错误!(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52， ∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)． (2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知： ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1－3?1－3?2－m ?1－3?－m >0?2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。