数列大题专题训练1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d.4 1 -a.(1) 求b-,b2,b3,b4；(2) 求数列｛b n｝的通项公式；(3) 设S n = a£2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n <b n恒成立.2.在平面直角坐标系中，已知A n(n,a n)、B n(n,b n)、C n(n-1,0)(n・N*)，满足向量AA n1与向量B n C n共线，且点B n(n,g) (n，N*)都在斜率6的同一条直线上•(1)试用a1,b1与n来表示a n;(2)设a1 = a, d = -a，且12 ：：：a辽15，求数｛a n｝中的最小值的项•3.在公差为d (0)的等差数列｛a n｝和公比为q的等比数列｛b n｝中，已知a1=b1=1 , a2=b2, a8=b3.(1 )求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；(2)令c n = a n b n，求数列｛c n｝的前n项和T n.4、在数列｛a n｝中，a1 =1,其前n项和S n满足关系式3tS^(2t 30= =3t(t 0,n -2,3, )(1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列；1(2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 bb n_1(3)求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。

5 •设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ；(1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列；1 水(2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n • N *,n _ 2)求数列｛b n ｝的通项公式；6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y),(I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式；1(n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1)(n • N *),f(-2-a .)①求通项公式a n 的表达式；试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明1 a②令 b n=(?)n ,S n^b 1 b 2b n , T na 〔 a 2 a 2 a 31a n an 131 21 37. 设S n是正项数列｛a n｝的前n项和，且S n =—a n+~ 3n ~~ ,4 2 4(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)已知b n =2n,求T n H a』！• a?b2 •… ab n的值2 1 &已知二次函数f(x)二ax bx满足条件：①f(0) = f(1)；②f(x)的最小值为.8(1) 求函数f (x)的解析式；f4〕f(n)(2) 设数列｛a n｝的前n项积为T n,且T n = | —,求数列｛a.｝的通项公式；\5J(3) 在⑵的条件下，若5f (a n)是b n与a n的等差中项，试问数列｛b n｝中第几项的值最小？求出这个最小值。

9、设等差数列｛a n｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n.(1 )若a11=0,S14=98，求数列｛a n｝的通项公式；(2)在(1)的条件下求S n的表达式并求出S n取最大值时n的值(3)若a1> 6, an> 0, S^w 77,求所有可能的数列｛a n｝的通项公式10、设｛%｝是公比大于1的等比数列，S n为数列｛a n｝的前n项和•已知S3 =7，且a i - 3, 3a2, a3 4构成等差数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式.(n)令b n =ln a?. i, n =1,2,||(,求数列 g 的前n 项和「.11•已知等比数列｛a n｝中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a^i =64,公比q = 1(I)求a n；(n)设b n = log 2 a n，求数列｛| b n|｝的前n项和T.12、已知f (x) = log m x (m 为常数，m>0 且m = 1)设f(aj, f @), , f丽(n N )是首项为4，公差为2的等差数列.(I)求证：数列｛a n｝是等比数列；(n)若b n=a n • f (a n)，且数列｛b n｝的前n项和S n,当m「2 时，求S n；(川)若C n= a n lg a n，问是否存在m，使得｛c n｝中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.13.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足i(I )判断｛_｝是否为等差数列？并证明你的结论;Sn(H)求 S n 和 a n (川)求证：S 2 • S ； •• S ；乞1 一丄.2 4n14.已知数列｛a n ｝满足 a n =2a n 」2n -1(n — 2),且a^ 5.a + Z(l )若存在一个实数■,使得数列｛亠^ ｝为等差数列，请求出'的值2(II )在(I )的条件下，求出数列 a n 的前n 项和S n .15.设数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n , n =1, 2, 3，…. (I )求数列｛ a n ｝的通项公式； (n )若数列｛ b n ｝满足b 1=1，且b n 1二b n • a n ，求数列｛ b n ｝的通项公式; (川)设C n = n(3 -b n )，求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .1a"2,an 2SnSn 」5-2)参考答案1•••数列｛— ｝是以一4为首项，一1为公差的等差数列 b n -11 1S n =玄1玄2 ' 323^ ■ 3n 3n 1 二4 汇5 5 汉6 (n +3)(n+4)24aSb _ an n 2 _(a-1)n (3a-6)n-8 nnn 4 n 3 (n 3)( n 4)由条件可知(a_1n + (a3 n^)恒8成0立即可满足条件设2f(n) =(a -1)n3(a -2)n -8a = 1时，f (n) = -3n -8 ：：：0恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成a <l时，对称轴弓豁「沽土厂0f(n)在(Y ,1］为单调递减函数.f (1) =(a -1)n 2 (3a -6) n -8 =(a 一1) (3a -6) -8 =4a -15 ：： 015.a•. a<1 时 4aS n ：： b 恒成立4综上知：a < 1时，4aS n < b 恒成立2.解：(1)V 点B n (n,b n )(n ，N*)都在斜率为6的同一条直线上,bn1 2 - b nb n0(2七)b n(1- a n )(1+ a n )6 一7-5 - 6--b n n-1 2 b-■1.解：(1) b3 一 4-,bh丄，4---4 -(n -1) - -n -3二 b nn 4(n 4)于是数列｛b n ｝是等差数列，故b n 二d ・6(n-1). ............................... 3分A n A n 1 = (1, a n 1 f a n ),B nC n = (-1，-b n ),又 A n A * 1 与 B n C n 共线，1 ( -b n ) -(_1)(an 1 - a n)— 0,即 a n 1 - an — b n - ........................................ 5 分当n _2时,a^a (a 2 —aj @3 —a ?)亠亠(a . — a . J 二a’ 0 b ? Q 亠•亠d (n -1) 3(n -1)( n -2). ...................... 7分当n=1时，上式也成立 所以 a * = a 「b 1 (n -1)3(n -1)(n -2). ........................ 8 分(2)把a 1 =a,t>1 =~a 代入上式，2得 a n = a - a(n -1)3(n -1)(n - 2) = 3n -(9 a)n 62a.12 : a ^15, 7 ：： < 4， 2 6•••当n=4时，a n 取最小值，最小值为 a 4 =18—2a.(2)T n = C 1C 2 • C3 •…-C n「二玄袒 a ?b 2 a s b 3a n 」b n 」 a n b n①=a 』2a ?b 3 *3匕4… a ./b na nb n 1②①—②：(1—q)T n 二aM 1 db 2 db^ db n^ db n —ab 1 二ab d b 2(1_q )七曲1—q•「=(n - 1)6n 1 ............ 14 分4.解:(1)由已知 3tS n -(2t - 3)S n4 =3t ，即有2t +33t (a 1 a 2) _ (2t ' 3)a^ = 3t 由 a 1 = 1 解得 a ?:bn 1 -b n(n 1) - n=6,即 b n 1 - b n 二 6,13分3.解：(1)由条件得:1 +d =q：1 +7d =q 2_a n = 5n - 4,b n = 6心- 5T n =156^1-5-(5n -4)6n3ta2 2t 3所以a1 3t当n _ 2时，有3tS n +1 -(2t 3)S n =3t ①3tS n -(2t3)S n 」=3t②①—②得3tan + 1 - (2t ' 3)a n = 0a n i _ 2t 3 a n 3t综上所述，知色」=迤3 n _1a n 3t因此｛a n ｝是等比数列；2t +3(2)由(1)知 f(t) =3t 123则使b 1 =1,b n 二一气2■ b n 」 3 —3bn 42所以 b n —b n 」二n =(2,3/ )21 因此，｛b n ｝是等差数列，且 th =1,b n 二 b •(n - 1)d n33(3) Db 2 -b 2b a b g b 4 -b 4b 5 …b2n/b 2n• b 2n b 2n 1=b 2(b 1 -b 3)b 4(b 3-b 5)…b 2n (b 2nv b^ 1 )4=(b 2 b 4 38 2 = n n 9 35•解：（1）由 S n 二（1 …）一 ’a n = S n_, = （1 …）一乜心（n - 2）a儿相减得：an - -'an • 'an4, n(n - 2),.数列｛a .｝是等比数列 a^1+九b 2n ) 一5 4n 1 n(3扎b n 1 1 (2) f ( 1 ). , 51 ,1+ 丸1估二b ng 二.｛丄｝是首项为 丄=2,公差为1的等差数列—=2 ( n —1) = n 1 b n D b nb n = ......................................................................................................................................................................... 8 分n 十1(3) ■ =1 时,a n =(1)n ‘, C n = a n (— -1)=(丄)"'n ,2 b n2111 T n =1 2(2)3(y2 n(-)nJ① 2T n =(1)2(1)2 酹)3n (2)n②①—②得：1 1、 J 、2 八、3 J 、n 」J 、n 2T n 二1（2）（2 （2）（2 _n （2），1T n 「（2）G ）2（1）3E ）n 」— n （》n 门一 n （£）n ,6. 解：(I )由题意，令 y=0 , x<0，得 f(x)[1 — f(0)]=0 ,••• x<0 时，f(x)>1.••• 1 — f(0)=0. f(0)=1. .......................................................................... 2 分1 x适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=( — ) ......... ....................................... 4分 (II [①由递推关系知f(a n+1) • f( — 2 — a n )=1，即 f(a n+1 — 2— aj=f(O).*八•/ f(x)的 R 上单调，••• a n+1 — a n =2 , (n € N ), ............... 6 分又 a 1=1，故 a n =2 n — 1. ................................................................... 7 分 ② b n =(」)a n=(丄)2n ',S n = b 1 + b 2+…+b n =丄+( 1 )'+ …+( 1 f 「12 2 2 2 24欲比较S n 与—T n 的大小，只需比较 4n 与2n+1的大小.3由=1 , 2, 3 代入可知 4n >2n+1，猜想 4n >2n+1. ................................. 10 分所以:1 1T n =4(1-(2门-2 n(?)n14分知(扩] 2 21^)2 T n 「丄a 〔 a 27)-a 2a31—an a n 1+…+丄2n -1 1 1―—+―— + …+ 1 3 3 5 (2n -1)(2n 1)11 1)(1 ) ...................................2 2n 12n 1Sn= f Tn I-1 3 心112 1 1 3 ------- )=—( )=— 2n 1 3 2n 1 4n 2 4n -(2n 1) (2n 1) 4n下用数学归纳法证明1(i) 当n=1 时，4 >2X 1+1 成立(ii) 假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1当n=k+1 时，4k+1=4 X 4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1 ,说明当n=k+1时命题也成立.由(i)( ii)可知，4n>2n+1对于n € N*都成立•4故S n> T n ... ................................................................................... 12 分3注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+c n 3 c2 32c n 3n _1 3n • 2n 1.1 2 1 37. 解(I)当n = 1 时，a t = $ ............................ a1a1,解出a1 =3 , 1 分4 2 4又4s n = a n + 2a n —3①当n _2 时4s n~1 = a n j + 2a n-1 —3②2 2 2 2①一② 4a n =an —a^ - 2(a^a nJ),即a^a nj -2(a n - a.」)=0 .............................................3分••• (a n a n」)(a n -a n」- 2) = 0, a n a n」0 a n - a n」=2 ( n — 2)……5分.数列｛a n｝是以3为首项，2为公差的等差数列.a^3 2( n- 1)=2 nJ •-7分(n) T n =3 21 5 22•山• (2n，1) 2n③又2T n =3 22 5 23W (2n -1) 2n - (2n 1)2n1④............ 9 分④-③ T n 二-3 21 -2(22232n) (2n 1)2n 1............. 11 分=-6 8 -2 2n 1(2n 1) 2n 1 .......... 13 分-(2n - 1)2n 1 2 .......... 14 分(1a b =0a 1 2 1&解：(1)由题知：解得 2 ....... ,故f (x) x x .3分h1 2 2b 二L 2a 0 = 1 .4a 一 8n 2 -n2~(n J)2Jnl): 2T n j — a i a 2 H f an J = l 5丿 (n -2), (n-2). a n T n4 — T n 15 n A(n N ). 4 a n :15丿⑶若5f (a n )是b n 与a n 的等差中项，则2 5f (a nH b n a n , …… 1 2 1 2 3 2 从而 10(；a n a n )二b n a n , 得d =5a n -6a n=5(a n)- 2 2 54 =—5 一一，即 n5 又a^T| =1满足上式.所以 因为a n 当a n ..... 10分n 1 (n • NJ 是n 的减函数，所以<3(n ・N”)时，b n 随n 的增大而减小，此时最小值为 b a；-4( n • N ”)时，b n 随n 的增大而增大，此时最小值为 b 4.12分又所以 ba :::b4 , :::3 ,即 n5 即数列｛0｝中b 最小,且b3=5阳卜由=一 2245 125 14分9、解：由 a“ =0,^4 =98得 a 1 10d =0 6 1解得：① 14a 1 91d =98 a n =a 「n -1 d = 22-2 n (a1+an)n 2 S n21n - n 2 令 a n =°得 n=11 -当n =11时， (3 )法一：由 务一6+10d >0 14印 +91d 喳77 (3) S n 取得最大值 a 1》6, an > 0, S 14W 77 得: (1) (2) 10分(2) ( -14)得: -14a 1 -140d 0 ( 4) (1) (-14)得:-14耳—84 (5) :'d Z,. d =T 代入(2)、( 3)得： a 1 10■ 1 0 :: a 1 -12 14a<^168 far Z,. a 1 =11 或 1211⑷ (3)得:d(5) - (3)得:d -9112分a a2 a3 =7,.a n =12 -n或a n =13 -n解得a2 = 2 .设数列｛a n｝的公比为q，由a：=2，可得& = 2, a^2q . .......................... 4分q2又S3 = 7，可知 2 ■ 2q = 7 ,q即2q2 _5q 2=0，1解得q<| = 2，q2：2由题意得q 1，q = 2 ..4 =1 . ...................................................................... 7 分故数列｛a n｝的通项为a n =2n J.(n)由于b n =ln a3n 1, n =1,2,由(1)得a3n 1 = 2.b n =1 n23n =3nln 2又b n 1 —b n =3In 2■ {b n}是等差数列.n(b「b n)2n(3In 2 3nln 2)211 .解：(I)依题意a^ - a4 ' 3( a3 - a4),即2a4 _3a2 a^ - 02a1q3 -3a1q3 a1q = 02 12q _3q 1 =0= q =1或q =_21q = 1 q ........... 4 分14分10•解：（I）由已知得(a i 3) @3 4) [ 2=3a?.10分故T n 3n(n 1)2In 2.3n(n 1)In 2 .14分2a a 2 a 3 =7,二数列｛a n ｝是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列(n)由题意 b n 二 a n f (a n )二 m 2n 2 log m m 2n 2 = (2n 2) m 2n 2 , 当 m = J 2时，b n =(2n 2) 2n 1 = (n 1) 2n 2 二 S n = 2 23 3 24 4 2— (n 1) 2n 2①........... 6 分① 式两端同乘以2，得2Sn =2 24 3 25 • 4 26 • ― n 2n 2 ' (n ' 1) 2n3 ②...... 7 分② —①并整理，得S n 八2 23 - 24 - 25 -26 -…-2n 2 (n 1) 2n 3二 -23 -{23 亠 24 亠 25 亠 亠 2n 2]亠(n 亠 1) 2n 3七一2^ (n 1) 2n 31-2二-23 23(1 — 2n ) (n 1) 2n 3故a n =64 (扩1(II ) b n = log 2[64(2)nl Hlog 2 27J=7 — n7-n二I 6 I"n —7(6 7 _n)n n(13_n) 2 - 2__当 n 7 时,|b 8|“,T n 二 T 7(1 n - 7)(n - 7) _ 21 . (n - 6)(n - 7)2 - 22(n _6)(n _7) +21(n >7) • 212分12、解：(I)由题意 f (a n ) = 4 • 2(n -1) = 2n 2, 即 log m a n = 2n 2,二 m 2n 2an 12(n 1) 2a n2n 2m■/ m>0且m^1，二m 2为非零常数，= 2n3n10 分(川)由题意C n=a n lga n=(2 n+2)m 2n "lgm2n lgm ：：：( n 1) m lg m 对一切 n_2 成立,(川)1°当n=1时，S 12 = 1 = 1成立4 2 4"1 12°假设n=k 时，不等式成立，即S|2 Sf ... S |f --—成立2 4k要使 c n 」：：：c n 对一切n 一2成立,①当 m >1 时，n ：：(n 1)m 2对n _ 2成立; 12分②当 0<m<1 时，n (n 1)m 22m2对一切n _ 2成立，只需1 -m2 m2：解得:6 •、6m ：：：—考虑到0<m<1 ,V6--0<m< .3综上，当0<m<丄6或m>13时, 数列｛5 ｝中每一项恒小于它后面的项14分13.解证：(I)S 1 — a1 -2丄=2 S 1a n = S n - S n 4即 S n - S n 4 = ~2S n S n 41 1SnSn J1=2故｛丄｝是以2为首项，以2为公差的等差数列.S n(n)由(I )得丄=2 (n -1) 2=2n,S n 」Sn2n当n > 2时，a n2n(n _1)(n =1)当n =1时，厲三a n2心严2)1_1 1 _1 1 4 k (k 1)2 2 4 2k 2 k _ 1 k(k 1) 一 2 4(k 1)an _2a nd. = 2^ 2n"是与n 无关的常数，则1— =0,得九=-1.2n则当 n=k+1 时，S ； +S ； + ... +S ： +S ：申1 < 21 4k 1 4(k 1)2即当 n=k+1 时，不等式成立由1 （川）另证:S 2 S2 …Sn,2°可知对任意1 14 4 22n € N 不等式成立.1 2 -4 324(11 1 1 .»(1 —匕 3十(n _ 1)n丄一 1n-1 n 24n14.解：（1）假设存在实数'符合题意,则吩必为与n 无关的常数。