3.4 实际问题与一元一次方程(工程问题)
一、内容和内容解析
1．内容
建立方程模型解决“工程问题”；解实际问题的基本过程．
2．内容解析
（1）地位和作用：本课是本学段利用方程解决工程问题，学生在前期学习过解决配套
问题后，经过学习工程问题，完整认识列一元一次方程解决实际问题的基本过程，对于学生后续学习利用其它方程解决实际问题有深远的影响．在利用算术法解决实际问题时，算式受到“其中只含已知数而不能有未知数”的限制；而方程可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与其他数一样地参与运算，所以方程的应用更为广泛．（2）概念的解析：列方程是本章的重点之一，也是难点．教材把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线．在之前的两个小节中，学生通过数量关系相对较简单的问题，对列方程有了初步的认识，并对解一元一次方程具备了一定的基础．
（3）思想方法：在本节中，通过预先安排的较简单的工程问题帮助学生理清工程问题的数量关系，通过对例 1(工程问题)数量关系相对复杂的实际问题，讨论它们可以使学生对列方程有进一步认识，加深对列方程解实际问题的一般思路的理解，发现方程思想的优越性。
在例题之后，通过学生总结以框图的形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程，加强了学生对这一基本过程的认识．
（4）知识类型：在列方程解应用问题中，设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的基础．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：分析工程问题中的数量关系并列出方程．
三、目标和目标解析
1．目标
（1）能够根据工程问题中的数量关系列出方程．
（2）经历将在应用问题中找到等量关系，设未知数列出方程，解方程并得到实际问题的
解的过程，发现列方程解实际问题的一般思路.
（3）在列方程解实际问题的过程中，初步体会建立数学模型解决实际问题的思想.
2．目标解析
（1）能发现工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的相等关系，能列方程表示实际问题中的相等关系.
（2）能归纳得到用一元一次方程解决实际问题的基本过程是“设未知数，列方程，解
方程，检验所得结果，确定答案”，能正确分析问题中的相等关系.
（3）能初步体会建立数学模型解决实际问题的数学建模思想，初步认识利用方程解决实际问题的过程是“根据实际问题建立方程模型，解决方程模型，利用方程模型的结论解释
实际问题”.
三、教学问题诊断分析
学生在前一学段的学习中，对用算术法解应用问题的印象是很深刻的．虽然在本章的前几个小节中，学生已经经历了由实际问题列出一元一次方程的过程，并也对解一元一次方程有了一定的认识，但是对于应用方程解决实际问题还缺乏自觉性，尤其是对于如何分析含有变量的数量关系，以及用含有未知数的代数式表示未知量还缺乏经验．
由此本课在实际问题的分析中，尤其是由实际问题抽象为数学模型的过程中，可借助表格等形式来表示未知量，使未知量之间的数量关系更直观，并引导学生从多个角度进行思考，从而对问题有一个更全面的认识．
本节课的教学难点是：通过对实际问题的分析找到相等关系列出方程.
四、教学过程设计
（一）复习回顾
问题 1 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天．如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
师生活动：教师提出问题，学生思考并在纸上写出解题过程，请学生展示自己的解题思路和解题过程。
引导学生分析出工程问题的基本数量关系是“工作量=工作效率×工作时间”。
问题 2 我们通过列方程解这个问题的过程，大致包含哪些步骤？
师生活动：请学生归纳在列方程解答的过程中，大致包含哪些步骤，得到“审题并分析题目中的数量关系、找到并设未知数、根据题意列方程、解方程并检验、答题”这几个基本步骤．回答不完整的由其他同学补充．教师简单板书．
设计意图：检查学生对简单的工程问题的理解和掌握程度，以及对列方程解决应用问题的掌握程度.为本节课复杂的工程问题的教学做准备.
（二）新课学习
1．探究与应用
问题 3 应用回顾的步骤解决以下问题．
例1整理一批图书，由一个人做要40 h 完成．现计划由一部分人先做4h，然后增
加 2 人与他们一起做 8 h 完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人先做？
师生活动：
（1）教师提出问题，请学生起来审题并分析题目中的数量和数量关系。
模仿“工作量=工作效率×工作时间”写出本题中的数量关系“工作量=人均效率×人数×工作时间”。
“总工作量=前一部分工作量+后一部分工作量”；“前一部分工作量=人均效率×前一部分工作人数×前一部分工作工作时间”；“后一部分工作量=人均效率×后一部分工作人数×后一部分工作工作时间”。
引导学生列出表格；
（2）请学生分析已知量和未知量，设未知数；
（3）选学生填表并分析数量关系，列出方程，不完整的地方由学生补充，教师点评．
（4）请学生完成解方程的过程，教师巡视，发现学生的问题，展示问题请学生纠正。
设计意图：在例 1 的基础上实践“借助表格分析数量关系”的方法，积累经验，同时进一步巩固列方程解决实际问题的基本过程和基本步骤．
问题4 以上问题还有其他的解决方法吗？
师生活动：
（1）教师追问：还有没有其他列方程的方法？
（2）教师提示：刚刚我们是通过时间将总工作量分为人数增加前的工作量和人数增加后的工作量。
我们还可以通过其他标准找到总工作量的等量关系吗？
（3）学生分组讨论并回答，教师板书表格．
（4）请学生在黑板上板书列出的方程，教师点评。
设计意图：通过对例 1 的进一步分析，使学生体验列方程解决实际问题的基本过程和基本步骤，并体会借助表格分析问题中数量关系的优越性，进而体会利用方程解题的灵活性，增强学生自觉使用方程模型的意识．
2．巩固练习
例2整理一批数据，由一人做需 80 h 完成. 现计划先由一些人做 2 h，再增加 5 人做 8
h，完成这项工作的3
4. 怎样安排参与整理数据的具体人数?
师生活动：
（1）教师提出问题，要求学生模仿例 1 的分析过程列出表格，列出两个以上的方程，并选其中的一种解答完整；
（2）学生自主解答，并组内交流；
（3）选两名使用不同方法的学生在黑板上填表并分析数量关系，列出方程，不完整的地方由学生补充，教师点评．
设计意图：在例 1 的基础上实践“借助表格分析数量关系”的方法，积累经验，同时进一步巩固列方程解决实际问题的基本过程和基本步骤．
3．小结与归纳
问题 5 用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？
师生活动：教师提出问题，学生思考并尝试回答，教师归纳并板书框架图．
设计意图：使学生对用一元一次方程解决实际问题的基本过程有更明确的认
识，并渗透建模思想．
4．课后作业
基础作业:
学案3.4 课时作业 .
拓展作业:
练习册 P57 第二课时工程问题。