弯曲应力欧阳光明（2021.03.07）6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。

题 6-1图解：（a ）m KN M m m ⋅=-5.2m KN M ⋅=75.3maxMPa A 37.20108.490104105.2823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） （b ）m KN M m m ⋅=-60m KN M ⋅=5.67maxMPa A 73.611058321061060823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） （c ）m KN M m m ⋅=-1m KN M ⋅=1maxMPa A 67.38106.251099.0101823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。

解：)1(32431απ-=D W x6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。

试求梁内最大拉应力与最大压应力。

已知Iz=10170cm4，h1=9.65cm ，h2=15.35cm 。

解：A 截面：Mpa 95.371065.9101017010402831max =⨯⨯⨯⨯=--σ （拉） Mpa 37.501035.15101017010402831min -=⨯⨯⨯⨯-=--σ（压） E 截面Mpa 19.301035.15101017010202832max =⨯⨯⨯⨯=--σ （拉） Mpa 98.181065.9101017010202832min -=⨯⨯⨯⨯-=--σ （压） 6-4 一根直径为d 的钢丝绕于直径为D 的圆轴上。

（1） 求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）（2） 若d ＝lmm ，材料的屈服极限s σ=700MPa ，弹性模量E=210GPa ，求不使钢丝产生残余变形的轴径D 。

解：EJM =ρ16-5 矩形悬臂梁如图示．已知l= 4 m ，32=h b ，q=10kN/m ，许用应力[σ]=10Mpa 。

试确定此梁横截面尺寸。

解：m KN ql M ⋅=⨯⨯==80410212122max6-6 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。

若[σ]＝160MPa ，试求许用载荷P 。

解：3237cm W =P 32 [][]P W M 32102371016066=⨯⨯⨯=⋅=-σ （M 图） P 326-7压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为 45钢，s σ＝380 MPa ，取安全系数5.1=n 。

试校核压板强度。

解：2331568)121230122030(101mm W =⨯-⨯⨯= 6-8由两个槽钢组成的梁受力如图示。

已知材料的许用应力[σ]＝150 MPa ，试选择槽钢号码。

解：m KN M ⋅=60max查表：（22a ， 332006.217cm cm W x >=）（ M 图）6-9割刀在切割工件时，受到P ＝1kN 的切销力的作用。

割刀尺寸如图所示。

试求割刀内最大弯曲应力。

解：m N p M ⋅=⨯⨯=-I 810836-10 图示圆木，直径为D ，需要从中切取一矩形截面梁。

试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h 、b 分别为何值？（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h 、b 又分别为何值？解：6)(6222b D b bh W -== ∴从强度讲：D b 57735.0=∴从刚度讲D b 50.0=6－11T 字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知h= 12cm ，t=3cm ，试确定其翼板宽度b 之值。

解：3max max ＝下上拉压y y =σσ 6-12 图示简支梁，由No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A 处梁底面的纵向正应变4100.3-⨯=ε，试计算梁的最大弯曲正应力σmax 。

已知钢的弹性模量E=200GPa, a=1m 。

解：MPa E A 60100.31020049=⨯⨯⨯==-εσ（M 图）6-13 试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a 点和b 点的正应力和剪应力。

解：1－1截面6-14 计算在均布载荷q ＝10 kN ／m 作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。

解：232max 110108181⨯⨯⨯==ql MMPa 86.101= 在跨中点上、下边缘MPa 46.25= 在梁端，中性轴上 6-15试计算6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。

解： MPa Wqa 60832=qa 41 KN qa Q 2.2216.294343max =⨯⨯== （Q 图）6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa 。

试选择该梁的截面尺寸，设1:2:=b h（Q 图） （ M 图）解：KN R A 19=KN R B 29=6-17 试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[σ]= 160MPa ，[τ]＝80Mpa 。

解：[]3612510160100020cm MW =⨯⨯==σ 取16I ， 3141cm W =故 取No16工字钢（Q 图） （M 图）6-18 图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的号码。

已知 l ＝10 m ，a ＝4 m ，d=2 m 。

起重机的重量W ＝50 kN ，起重机的吊重P=10 kN ，钢梁材料的许用应力［σ］=160 MPa ，[τ]= 100Mpa 。

解：轻压：KN 10 ，KN 50取 a 2833215.508W cm W z =>=6-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h 。

用应变仪测得其上边的纵向线应变611042-⨯-=ε，下边的纵向线应变621014-⨯=ε。

试求此截面形心的位置。

解：11M εσ⋅=⋅E J y b＝上 6-20 简支梁承受均布载荷q ，截面为矩形h b ⨯，材料弹性模量E ，试求梁最底层纤维的总伸长。

解：22)(2qx x ql x M -= 6-21矩形截面悬臂梁受力如图（a ）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：（1）试求中性层截面上剪应力沿x 轴向的变化规律，参见图（b ）；（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？解：（1）bhqx A Q x 2323==τ （2）由τ产生的合力为T由弯曲产生的轴间力为Nbdy h b y ql dy b J M dy b N h h h ⎰⎰⎰=⋅=⋅⋅=2/02/02/032max 122σ（自证） 6-22 正方形截面边长为a ，设水平对角线为中性轴。

试求（1）证明切去边长为9a 的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算Iz 时可按图中虚线分三块来处理）。

解：原来正方形：削去x 后：6-23 悬臂梁AB 受均布载荷q 及集中力P 作用如图示。

横截面为正方形a a ⨯，中性轴即正方形的对角线。

试计算最大剪应力τmax 值及其所在位置。

解：)(Q ql P +=6-24试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。

解：6-25确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。

设环的平均半径R0，壁厚t ，设壁厚t 与半径0R 相比很小。

解：ϕϕsin 00⋅⋅⋅=R t d R dS6-26试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲时）。

假设厚度t 与其他尺寸相比很小。

解：z J t h b e 4)2(221= 6-27 在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b=常量，试求截面高度沿梁轴线的变化规律解：2022023621bh ql bh ql W M l ===σ6-28 图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P 作用，梁的尺寸l 、b 、h 均为已知。

试计算梁内的最大弯曲正应力。

解：x P x M ⋅=)(6-29当载荷P 直接作用在跨长为l ＝6m 的简支梁AB 的中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。

为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD ，试求此梁的最小跨长a 。

解：x P Pl 270.04=⨯ 6-30 图示外伸梁由25a 号工字钢制成，跨长l=6 rn ，在全梁上受集度为q 的均布载荷作用。

当支座截面A 、B 处及跨度中央截面C 的最大正应力σ均为140MPa 时，试问外伸部分的长度及载荷集度q 等于多少？解：lqa qa ql R A 2832++= 查表：(M 图)6-31 图示悬臂梁跨长L=40cm ，集中力P ＝250N ，作用在弯曲中心上，梁的截面为等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了m ax σ和m ax τ之值。

解：444999.3957112381240mm J z =-= 6-32 圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db:da ＝3:1，在自由端承受集中力P 作用，试求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。

解：Px x M =)(6-33工字形截面的简支钢梁，跨度l ＝4m ，跨度中央受集中载荷P 作用。

如材料屈服点s σ=240MPa ，安全系数n=1.6，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。

解：[]2550)300(5010025)50(5020011⨯--+⨯=⨯-+⨯y y6-34 矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P 。

论确定塑性区域的长度和塑性区城边界方程式()x f a =。

解：261bh W z =故 5.1=sjxM M Pl M jx 41= 故 l e 61=将s σ及a M 代入上方程：。