用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称a <无实数根）要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||AB =△（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1．（2016•牡丹江）将抛物线y=x 2﹣1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【思路点拨】抛物线y=x 2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x 2﹣9，令x 2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x 轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求． 【答案】B 【解析】解：将抛物线y=x 2﹣1向下平移8个单位长度， 其解析式变换为：y=x 2﹣9而抛物线y=x 2﹣9与x 轴的交点的纵坐标为0， 所以有：x 2﹣9=0解得：x 1=﹣3，x 2=3，则抛物线y=x 2﹣9与x 轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），所以，抛物线y=x 2﹣1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为6【总结升华】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线沿着y 轴向下平移时解析式的变换规律，难点是二次函数与x 轴的交点与对应一元二次方程的解之间的关系举一反三：【高清课程名称：用函数观点看一元二次方程高清ID 号： 356568 关联的位置名称（播放点名称）：例3-4】【变式】二次函数y=mx 2+(2m-1)x+m+1的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。

【答案】据题意，列()()⎩⎨⎧<+--=∆>0141202m m m m 1m .8>∴类型二、利用图象法求一元二次方程的解2．用图象法求一元二次方程x 2-2x-1=0的近似解(精确到0.1)． 【答案与解析】解法1：2221(1)2y x x x =--=--，即对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，-2)． x1 2 2.5 3 2(1)2y x =---2-10.252象如图所示．由图象知，当x ≈-0.4或x ≈2.4时，y ＝0．因此方程2210x x --=的解的近似值为-0.4或2.4．解法2：将方程2210x x --=变形得221x x =+．在同一坐标系中画出函数2y x =与y ＝2x+1的图象如图所示．抛物线2y x =与直线y ＝2x+1交于A 、B ，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足横坐标分别约为-0.4或2.4，所以方程2210x x --=的近似解为x 1≈-0.4，x 2≈2.4．【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而观察得方程的近似解．第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数2y x =与y ＝2x+1的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们要注意从不同的角度去分析，培养多向思维的能力．可画出函数221y x x =--的图象，观察其与x 轴的交点坐标，也可转化为求直线y ＝2x+1与抛物线2y x =的交点的横坐标．类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用3．（2015•通州区二模）已知：关于x 的方程：mx 2﹣（3m ﹣1）x+2m ﹣2=0． （1）求证：无论m 取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数y=mx 2﹣（3m ﹣1）x+2m ﹣2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．【答案与解析】 解：（1）①当m=0时，原方程可化为x ﹣2=0，解得x=2； ②当m≠0时，方程为一元二次方程， △=[﹣（3m ﹣1）]2﹣4m （2m ﹣2）=m 2+2m+1=（m+1）2≥0，故方程有两个实数根； 故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）∵二次函数y=mx 2﹣（3m ﹣1）x+2m ﹣2的图象与x 轴两交点间的距离为2， ∴=2， 整理得，3m 2﹣2m ﹣1=0， 解得m 1=1（舍去），m 2=﹣．则函数解析式为y=x 2﹣2x 或y=﹣x 2+2x ﹣．【总结升华】本题考查了抛物线与x 轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x 轴的交点间的距离公式是解题的关键． 举一反三：【高清课程名称： 用函数观点看一元二次方程高清ID 号： 356568 关联的位置名称（播放点名称）：例6】 【变式】（2015•杭州模拟）关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x 2﹣x ﹣n 的顶点在（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 【答案】A.提示：∵抛物线y=x 2﹣x ﹣n 的对称轴x=﹣=，∴可知抛物线的顶点在y 轴的右侧，又∵关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣n=0没有实数根，∴开口向上的y=x 2﹣x ﹣n 与x 轴没有交点，∴抛物线y=x 2﹣x ﹣n 的顶点在第一象限． 故选A ．4．已知：如图所示，一次函数112y x=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数212y x bx c=++的图象与一次函数112y x=+的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S．【答案与解析】(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入212y x bx c=++得1,10,2cb c=⎧⎪⎨++=⎪⎩解之3,21.bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为213122y x x=-+．(2)设C(x，y)，则有00200011,2131,22y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得04,3.xy=⎧⎨=⎩∴ C(4，3)．由图可知：ACE ABDS S S=-△△．又由抛物线的对称轴为32x=可知E(2，0)．∴11119AE433122222S y AD OB=•-•=⨯⨯-⨯⨯=.【总结升华】由图象知，抛物线经过点B(0，1)，D(1，0)．将B、D两点坐标代入抛物线的解析式中求出b、c的值．再联立方程组求出点C的坐标．由抛物线对称性求出点E的坐标．由ACE ABDS S S=-△△，求出面积S．用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016•阜新）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0没有实数根 2．（2015•温州模拟）已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表： x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4x 2+2x ﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76﹣0.11 0.56 那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ．﹣4.1 B ． ﹣4.2 C ． ﹣4.3 D ．﹣4.43．已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图所示．若12y y <，则自变量x 的取值范围是( )A ．322x -<< B ．322x -<< C ．2x >或32x <- D ．2x <-或32x > 4．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解为（ ）A ．x=0B ．x=1C ．x=3D ．x 1=3，x 2=-15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) A ．a ＞0，b ＞0，240b ac -> B ．a ＜0，c ＞0，240b ac ->C ．a ＞0，b ＜0，240b ac -> D ．a ＞0，c ＜0，240b ac -<第3题 第4题 第5题 第6题 6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题7．（2016•徐州）若二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是 ． 8．已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为 ．9．抛物线2y x x =-与直线y ＝-3x+3的交点坐标为 ．10．（2014秋•河南期末）如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax 2+bx+c=0的两根是 ．11．如图所示，已知抛物线2y x bx c =++经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b 的值是________．12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1和3，与y 轴负半轴交于点C ．下面四个结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个． 那么其中正确的结论是___ _____．(只填你认为正确结论的序号)三、解答题13．已知函数261y mx x =-+(m 是常数)(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．14. 已知抛物线212yx x c =++与x 轴没有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线1y cx =+经过的象限，并说明理由．15．（2014•上城区校级模拟）已知关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2+4x+k 的图象与坐标轴只有2个交点，求k 的值．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B.【解析】①∵开口向下，∴a ＜0，A 错误；②对称轴在y 轴的右侧和a ＜0，可知b ＞0，B 正确； ③抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，C 错误；④因为与x 轴有两个交点，所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个实数根，D 错误. 2.【答案】C ；【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x ＜﹣4.3时，﹣0.11＜y ＜0.56，即﹣0.11＜x 2+2x ﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些， ∴方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C ．3.【答案】B ；【解析】设21y x =与2132y x =-+的交点横坐标为1x ，2x (12x x <)，观察图象可知，当12y y <时，自变量x 的取值范围是12x x x <<，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立2132y x y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得21302x x +-=．解得12x =-，232x =，∴ 322x -<<． 4. 【答案】D ；【解析】解：根据图象可以得到：图象与x 轴的一个交点是（3，0），对称轴是：x=1，（3，0）关于x=1的对称点是：（-1，0）．则抛物线与x 轴的交点是：（3，0）和（-1，0）．故于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解为：x 1=3，x 2=-1．故选D ．5.【答案】A ；【解析】由抛物线开口向上，知a ＞0，又∵ 抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴，∴ c ＜0．由对称轴在y 轴左侧，∴ 02b a-<，∴ b ＞0． 又∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴ 240b ac ->，故选A ．6.【答案】D ；【解析】由图象可知，当2x =-时，y ＜0．所以420a b c -+<，即①成立；因为121x -<<-，201x <<，所以102b a-<-<，又因为抛物线开口向下，所以a ＜0，所以20a b -<，即②成立； 因为图象经过点(-1，2)，所以2424ac b a->，所以284b a ac +>，即④亦成立(注意a ＜0， 两边乘以4a 时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以2a b c -+=，即2b a c =+-，又∵ 420a b c -+<，∴ 24b a c >+．∴ 2244a c a c +->+，即24242a c <-<-=-，∴ 1a <-，所以③成立．二、填空题7.【答案】m ＞1．【解析】∵二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x 2+2x +m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m ＜0，解得：m ＞1．8．【答案】34m <-； 【解析】∵ 二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，∴ 22[(21)]4(44)0m m m ---++>．即22441416160m m m m -+--->，解得34m <-． 9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵ 抛物线2y x x =-与直线y ＝-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同．故可联立233y x x y x ⎧=-⎨=-+⎩，∴ 2230x x +-=，13x =-，21x =．将x 1＝-3，x 2＝1代入y ＝-3x+3中得方程组的解为11312x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩． ∴ 抛物线2y x x =-与直线y ＝-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)．10．【答案】x 1=﹣3，x 2=1；【解析】∵由图可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0），则=﹣1，解得x=1， ∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣3，x 2=1．11．【答案】12-等； 【解析】由题意230x bx +-=的一个根在1与3之间，假设根为2x =，代入得22230b +-=∴ 12b =-，答案不唯一. 12．【答案】①③； 【解析】抛物线的对称轴为1312x -+==，∴ 12b a-=，20a b +=，①正确； ②当1x =时，0y <即0a b c ++<，②错；③当12a =时，顶点D 的坐标为（1，-2）， △ABD 为等腰直角三角形，又∵ 抛物线的开口向上，加之∠DAB ，∠DBA 不可能为直角，所以只有12a =时，△ABD 是等腰直角三角形，∴ ③正确；△ACB 为等腰三角形，有三种可能性：ⅰ)AC ＝AB ；ⅱ)BC ＝AB ；ⅲ)AC ＝BC ．∵ OA ≠OB ，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC 为等腰三角形的点C 的位置只有两个，因此a 的值也只能是两个，∴④错.三、解答题13.【答案与解析】(1)当x ＝0时，y ＝1，所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点(0，1)．(2)①当m ＝0时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+= 有两个相等的实数根，所以△＝(-6)2-4m ＝0，m ＝9．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．14.【答案与解析】（1）∵ 抛物线与x 轴没有交点 ∴ △＜0，即120c -<．解得12c >， （2）∵ 12c > ∴ 直线1y cx =+随x 的增大而增大，∵ 1b = ∴ 直线1y cx =+经过第一、二、三象限．15.【答案与解析】解：分情况讨论：（ⅰ）k ﹣1=0时，得k=1．此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意；（ⅱ）k ﹣1≠0时，得到一个二次函数．①抛物线与x 轴只有一个交点，△=16﹣4k （k ﹣1）=0，解得k=；②抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，得k=0．∴k=1或0或．。