精品文档（五 ）解直角三角形的实际应用 （含答案 ）1. （2017 湖南株洲第 23 题 ）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为 α 其中 tan α=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3米，桥的长度为 1255 米．①求点 H 到桥左端点 P 的距离；②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB ．【答案】①求点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；②无人机的长度 AB 为5米．②设 BC ⊥HQ 于 C ．在 Rt △BCQ 中，∵ BC=AH=500 3，∠ BQC=30°，BC∴ CQ= =1500 米，∵ PQ=1255 米，∴ CP=245 米，tan30∵HP=250 米，∴ AB=HC=250﹣245=5 米．答：这架无人机的长度 AB 为 5 米． .考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2. （ 2017 内蒙古通辽第 22 题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 EOA 300 ，在OB 的位置时俯角 FOB 600 .若OC EF ，点 A 比点 B 高7cm.OA 的位置时俯角求（ 1）单摆的长度（3 1.7 ）；精品文档（2）从点A摆动到点B 经过的路径长（3.1）答案】（ 1）单摆的长度约为 18.9cm（2）从点 A 摆动到点 B经过的路径长为 29.295cm1OP=OAcos∠ AOP= x，2在 Rt△ BOQ 中，由 PQ=OQ﹣ OP 可得3 x﹣1 x=7，22解得： x=7+7 3 ≈ 18.9（ cm）， .答：单摆的长度约为 18.9cm；（2）由（ 1）知，∠ AOP=60°、∠ BOQ =30°，且 OA=OB=7+7 3 ，∴∠ AOB=90°，则在Rt△ AOP 中，OQ=OBcos∠BOQ=2则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 90 （7+7 3）≈ 29.295，180答：从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm ． 考点： 1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹 .3. （2017湖南张家界第 19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像， 是我国近百年来最大的铜像． 铜像由像体 AD 和底 座 CD 两部分组成．如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=70.5 °，在 Rt △DBC 中，∠ DBC =45°，且 CD =2.3米，求像体 AD的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据： sin70.5 °≈ 0.9，43cos70.5 °≈ 0.3，34tan70.5 °≈2.8）24答案】 4.2m ．解直角三角形的应用．4. （ 2017 海南第 22 题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提 坝加高 2米（即 CD=2米），背水坡 DE 的坡度 i=1：1（即 DB ：EB=1：1），如图所示，已知 AE=4米，∠EAC=130°， 求水坝原来的高度 BC ．（参考数据： sin50°≈0.7，7cos50°≈0.6，4tan50°≈ 1）.2供的方案是：水答案】水坝原来的高度为 12解直角三角形的应用，坡度 .5. （2017 新疆乌鲁木齐第 21 题）一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60 方向，距离港口 20海里 B 处，它沿北偏西 37 方向航行至 C 处突然出现故障， 在 C 处等待救援， B,C 之间的距离为 10海里，救援船从港口 A 出发 20分钟到达 C 处，求救援的艇的航行速度 . （sin 37 0.6,cos37 0.8, 3 1.732 ，结果取整数）试题分析：辅助线如图 所示： BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ，在 Rt △ ABD 中，根据勾股定理可求 AD ，在 Rt △BCE 中，根据三角函数可求 CE ， EB ，在 Rt △AFC 中，根据勾股定理可求 AC ， 再根据路程 ÷时间 =速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答案】救援的艇的航行速度大约是64海里 /小时．答：救援的艇的航行速度大约是64 海里 /小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题C 测得教学楼顶部D 的仰6.（ 2017 浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．1）求∠ BCD 的度数．2）求教学楼的高 BD ．（结果精确到 0.1m，参考数据： tan20 °≈ 0.，36tan18 °≈0.）32【答案】（ 1） 38°；（ 2）20.4m ．【解析】试题分析：（ 1）过点 C 作 CE 与 BD 垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（ 2）在直角三角形 CBE 中，利用锐角三角函数定义求出 BE 的长，在直角三角形 CDE 中，利用锐角三角函数定义 求出 DE 的长，由 BE+DE 求出 BD 的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点 C 作 CE ⊥BD ，则有∠ DCE =18°，∠ BCE=20°，∴∠ BCD = ∠DCE + ∠BCE=18°+20°=38°； （2）由题意得： CE=AB=30m ，在 Rt △ CBE 中， BE=CE?tan20 °≈01.80m ，在 Rt △CDE 中， DE = CD ?tan18 °≈ 9m.6，0 ∴教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60 ≈20.4m ，则教学楼的高约为 20.4m ．考点： 1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题； 2．应用题； 3．等腰三角形与直角三角形．7.（2016 ·湖北随州 ·8 分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度， 已知烈山坡面 与水平面的夹角为 30°，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进得雕像顶端 A 的仰角为 60°，求雕像 AB 的高度．解：如图，1620尺到达 E 点，在点 E 处测过点 E 作 EF⊥AC， EG⊥CD，在 Rt△DEG 中，∵DE=1620，∠D=30°，精品文档∴EG=DEsin ∠ D =1620× =810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在 Rt△BEF 中， tan∠BEF= ，∴ EF= BF ，在 Rt△AEF 中，∠AEF=60°，设 AB=x，∵ tan∠AEF= ，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴ x=95 ，答：雕像 AB 的高度为 95 尺．8..（ 2016 ·吉林·7分）如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200m，台 B 的俯角α=43°，求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）参考数据： sin43°=0.68， cos43°=0.73， tan43°=0.93 ）解：如图，∠ B=α=43°，在 Rt△ABC 中，∵sinB=1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到 0.01cm）2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 0.01cm）参考数据： sin9°≈ 0.156，4cos9°≈0.987，7sin18°≈0.309，0cos18°≈0.951，1可使用科学计算器）从飞机上看地平面指挥OB 是旋转臂，使用时，1）中所作圆的大小相∴AB=OA 是支撑臂，以点 A为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．≈ 1765（ m）．精品文档解：（1）作 OC⊥AB于点 C，如右图 2所示，由题意可得， OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠ BOC=9° ∴AB=2BC=2OB?sin9°≈2×10×0.1564≈c3m.1，3即所作圆的半径约为 3.13cm；（ 2）作 AD⊥OB 于点 D，作 AE=AB，如下图 3 所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（∴ 折断的部分为 BE，∵∠ AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠ OAB =81°，∠ OAD =72°，∴∠ BAD =9°，∴BE=2BD=2AB?sin9°≈2×3.13 ×0.1564 ≈cm0.，98 即铅笔芯折断部分的长度是 0.98cm．10 （ 2016 ·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB的高度．他们在得仰角为 48°，再往建筑物的方向前进 6米到达 D 处，测得仰角为 64°，求建筑物的高度．结果精确到 0.1 米）（参考数据： sin48°≈ ，tan48°≈ ， sin64°≈ ，tan64°≈）21）中所作圆的大小相等，C 处仰望建筑物顶端，测解：根据题意，得 ∠ADB =64°， ∠ACB =48° 在 Rt △ADB 中， tan64°=∴建筑物的高度约为 14.7 米．11. （ 2016 ·四 川宜宾）如图，CD 是一 高为 4 米的 平台，AB 是与 CD 底部 相平的一棵树 ，在 平 台顶 C 点测得树顶 A 点的 仰角 α=30°， 从平台 底部向 树的方向水 平前进 3 米到 达点 E ，在点 E 处测得 树顶 A 点的仰 角 β=60°，求 树高 AB （ 结果保留根号 ）AB=解得： ≈14.7（米），在直角 △ABF 中，tan ∠AEB = 米．∵CF ﹣ BE=DE ， 即 x ﹣ x +4 ) =3．则 BD=在 Rt △ ACB 中， tan48°=即 6= AB ﹣ AB解 ： 作 CF ⊥ AB 于 点 F ， 设 AF = x 米 ，在直角 △ABE 中，AB=x+BF=4+ x （ 米）， x +4 )解得： x=答：树 高 AB 是 米 ．12.. （ 2016 ·湖北黄石 ·8分）如图，为测量一座山峰 C F 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是 “直”的，测得坡长 AB=800 米， BC=200 米，坡角∠ BAF=30°，∠ CBE=45°． 1）求 AB 段山坡的高度 EF ；2）求山峰的高度 CF ．（ 1.414，CF 结果精确到米）解：（ 1）作 BH ⊥AF 于 H ，如图， 在 Rt △ABF 中，∵ sin ∠ BAH = ， ∴BH=800?sin30°=400， ∴EF=BH =400m ；（ 2）在 Rt △CBE 中，∵ sin ∠CBE= ， ∴ CE=200?sin45°=100 ≈141.4， ∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m ）．答： AB 段山坡高度为 400米，山 CF 的高度约为 541米．13.（ 2016 ·湖北荆门 ·6分）如图，天星 山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小军和小明同时分别从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走． 已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的行走速度为 米 /秒．若 小明与小军 同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？米 ）．+4=解：过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， ∵∠ A=45°，CD ⊥ AB ， ∴AD=CD=x 米， ∴ AC= x ． 在 Rt △ BCD 中， ∵∠ B=30°，答：小明的行走速度是 1 米 /秒．［考点］三角函数、解决实际问题。