f(x,y)dy 1 e 1
其它. 0,
e y,y 0,
f(x,y)dx
其它. 0,
(3) X与Y相互独立.
4.设X和Y是两个相互独立的随机变量, X在(0, 1)上服从均匀分布, Y的
概率密度为
y
1 2 e,
fY(y) 2
0，
y 0,
y≤0.
(1)求X和Y的联合概率密度.
(2)设关于a的二次方程为a 2Xa Y 0,试求a有实根的概率.
4.设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3, 1≤y≤3}上
的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).
解随机变量U |X Y|的概率密度为
1
(2 u),0 u 2,p(u) 2.
其它. 0,
总习题三
1.设随机变量(X, Y)的概率密度为
1,|y| x,0 x 1,
解(1) k
1
. 8
38.Leabharlann (2) P{X 1,Y 3}(3) P{X 1.5}
2732
(4) P{X Y≤4}
. 3
3.二维随机变量(X,Y)的概率密度为
2
kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1,
f(x,y)
其它. 0,
试确定k,并求P{(X,Y) G},G:x2≤y≤x,0≤x≤1.
解k 6.P{(X,Y) G}
f(x,y)dx y
其它. 0,
2
2.4y(3 4y y),0 y 1,
其它. 0,
5.假设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布,随机变量
1,若U≤ 1, 1,若U≤1,
X Y
1,若U 1,1,若U 1.试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2)P{X Y≤1}.
解(1)
P{X 1,Y 1} P{U≤ 1,U≤1} P{U≤ 1}
时, X与Y相互独立..
99
3.设随机变量X与Y的概率密度为
2
,
1
be (x y),0 x 1,y 0,
f(x,y)
其它. 0,
(1)试确定常数b.
(2)求边缘概率密度fX(x), fY(y). (3)问X与Y是否相互独立？
1
解(1) b .
1 e 1(2) fX(x)
fY(y)
e x
,0 x 1,
f(x,y)
0,其它.
求条件概率密度fY|X(y|x)和fX|Y(x|y).
解
1
,y x 1,
当0 y 1时, fX|Y(x|y) 1 y
0,x取其它值.
1
, y x 1,
y
2x,0 x 1, 1 ,0 y 2,
fY(y) 2解(1)fX(x)
0,其它.其它. 0,
z
1 ,0 z 2,
(2) fZ(z) Fz (z) 2
其它. 0,
113
PX≤，Y≤
11 3 22
. (3) P Y≤X≤
1122 4 PX≤
42
3.设G是由直线y=x, y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量(X,Y)在G上服从二维均匀分布.求:
(1) (X, Y)的联合概率密度；(2) P{Y X≤1}；(3)关于X的边缘概率密度.解(1)
1 ,(x,y) G,
f(x,y) 2
0,(x,y) G.
(2)P{Y X≤1}=
3
. 4
1
(1 x),x [1,3],
(3) fX(x) 2
其它. 0,
习题3-3
1.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:
(2)注意到P{Y≤2}=0.6.P{X≥2,Y≤2} 0.5因此P{X≥2Y≤2}
P{X≥2,Y≤2}
P{Y≤2}
2.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
0.55
. 0.66
f(x,y)
1,0 x 1,0 y 2x,
0,其它.
11X≤ 22
求：(1) (X, Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)P{Y≤
解(1)
y
1 2
e,0 x 1,y 0
f(x,y) fX(x)fY(y) 2
其它. 0,
2
(2) {方程有实根} {X2≥Y}.P{X2≥Y} 0.1445习题3-4
1.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a, b.
解解得a 0.4,b 0.1.
2.设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为
1
. 4
4.设二维随机变量(X, Y)概率密度为
4.8y(2 x),0≤x≤1,0≤y≤x,
f(x,y)
其它. 0,求关于X和Y边缘概率密度.
解
fX(x)
x 4.8y(2 x)dy,0 x 1,
f(x,y)dy 0
其它. 0,
fY(y)
2.4(2 x)x2,0 x 1,
其它. 0,
1 4.8y(2 x)dx,0 y 1,
第三章作业及答案
习题3-1
1.
而且P{X1X2 0} 1.求X1和X2的联合分布律.解X1和X2的联合分布律
2.设随机变量(X,Y)的概率密度为
k(6 x y),0 x 2,2 y 4,
f(x,y)
其它. 0,
求: (1)常数k; (2) P{X 1,Y 3}; (3) P{X 1.5}; (4) P{X Y≤4}.
习题3-2
1.设(X, Y)的分布律为
13
. 44
求: (1)在条件X=2下Y的条件分布律;
(2) P{X≥2Y≤2}.
解(1) P{X 2} 0.6,所以在条件X=2下Y的条件分布律为
1, 2
P{Y 2|X 2} 0,
P{Y 1|X 2}
1, 61
P{Y 4|X 2} ,
3P{Y 3|X 2}
或写成
求随机变量Z = X + Y的分布律.解
3.设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X服从正态分布N(μ, σ2), Y服从均匀分布U(-a, a)( a0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.
解
fZ(z)
fX(z y)fY(y)dy
12a a
(z y )2
2 2
dy
=
1z μ az μ a[Φ() Φ()]. 2aσσ
求二维随机变量(X,Y)的分布律.
解
1
P{X xi,Y yj} P{X xi} P{Y yj},i 1, ,0;j 0,2,5,6.
2
2.设(X, Y)的分布律如下表:
问,为何值时X与Y相互独立?
2
1, 3
解可得方程组
111 ( ). 939
解得
29
,
19
.
经检验,当因此当
29
,
19
时,对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立.
同理, P{X 1,Y 1} P{U≤ 1,U 1} 0；
1
14
2
x
14
;
P{X 1,Y 1} P{U 1,U≤1}
12
；
2
P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P{U 1}
于是得到X和Y的联合概率分布为
1
1
1x . 44
(2)P{X Y≤1} 1 P{X Y 1} 1 P{X 1,Y 1} 1