第 4 课时 功能关系 能量守恒定律
考纲解读 1. 掌握功和能的对应关系，特别是合力功、重力功、弹力功分别对应的能量转化 关系 .2. 理解能量守恒定律，并能分析解决有关问题．
1． [ 功和能的关系 ] 对于功和能的关系，下列说法中正确的是
()
A．功就是能，能就是功
B．功可以变为能，能可以变为功
C．做功的过程就是能量转化的过程
④
由①③④三式得： μ ＝ 0.3
⑤
解法二：
滑块在从 A 到 C整个运动过程中，
由动能定理得：
mgR＋
μ
mgL＝
1 2
mv0
2
－
0
解得： μ ＝ 0.3
(3) 滑块在从 B 到 C运动过程中，设运动时间为 t
由运动学公式得： v0＝ vB＋ at
⑥
产生的热量： Q＝μ mg( v0t － L)
⑦
由①③⑤⑥⑦得： Q＝ 4 J.
2
①
物体在 B 点，由牛顿第二定律得：
vB 2
FB－ mg＝ mR
②
由①②两式得： FB＝60 N
由牛顿第三定律得滑块到达底端 B 时对轨道的压力大小为 60 N ，方向竖直向下．
(2) 解法一：
滑块在从 B 到 C运动过程中，
由牛顿第二定律得： μ mg＝ ma
③
由运动学公式得： v0 2－ vB 2＝ 2aL
(2) 相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3) 静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1) 滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2) 相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
物体 B相连，开始时， A、B 均在粗糙水平面上不动，弹簧处
于原长状态．在物体 B 上作用一水平向右的恒力 F，使物体
图5
A、 B 向右运动．在此过程中，下列说法正确的是
(
)
A．合外力对物体 A 所做的功小于物体 A 的动能增量
B．外力 F 做的功与摩擦力对物体 B做的功之和等于物体 B 的动能增量
为 m＝1 kg 的小球套在此硬杆上，从 P 点由静止开始滑下，已知
小球与硬杆间的动摩擦因数 μ ＝ 0.5 ， P 与弹簧自由端 Q间的距离
图8
为 l ＝1 m．弹簧的弹性势能与其形变量
x 的关系为
Ep＝
1 2kx
2.
求：
(1) 小球从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间
t；
(2) 小球运动过程中达到的最大速度 vm；
C．外力 F 做的功及摩擦力对物体 A和 B 做功的代数和等于物体 A 和 B 的动能增量及弹簧
弹性势能增量之和
D．外力 F 做的功加上摩擦力对物体 B做的功等于物体 B 的动能增量与弹簧弹性势能增量
之和
答案 C
考点二 摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
(1) 静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
弧轨道的顶端 A 处由静止滑下， A 点和圆弧对应的圆心 O点等高，圆弧的底端 B 与水平
传送带平滑相接．已知传送带匀速运行的速度为
v0＝ 4 m/s ， B 点到传送带右端 C点的距
离为 L＝ 2 m．当滑块滑到传送带的右端 10 m/s 2 ) ，求：
C 时，其速度恰好与传送带的速度相同．
( g＝
的上表面左端放一质量为 m的滑块 B，已知木块长为 L，它与滑块之间
的动摩擦因数为 μ . 现用水平向右的恒力 F 拉滑块 B.
图6
(1) 当长木块 A 的位移为多少时， B从 A 的右端滑出？ (2) 求上述过程中滑块与木块之间产生的内能．
审题指导 当把滑块 B 拉离 A 时， B 的位移为 A 的位移与 A 的长度之和．注意：审题时
一端连在位于斜面体上方的固定木板 B 上，另一端与质量为 m
的物块 A 相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上
升高度 h 的过程中
()
图4
A．物块 A 的重力势能增加量一定等于 mgh
B．物块 A 的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
C．物块 A 的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
解得
l
＝
μ mgL . F－ 2μmg
(2) 由功能关系知，拉力 F 做的功等于 A、 B动能的增加量和 A、B 间产生的内能，即有
F(
l
＋ L)
1 ＝ mvA
2＋
1 mvB
2＋ Q
2
2
解得 Q＝ μ mgL.
μ mgL 答案 (1) F－ 2μmg (2) μ mgL
突破训练 2 如图 7 所示，一质量为 m＝ 2 kg 的滑块从半径为 R＝ 0.2 m 的光滑四分之一圆
2．表达式： Δ E 减＝ Δ E增．
4． [ 能量守恒定律的应用 ] 如图 2 所示， ABCD是一个盆式容器， 盆内侧壁与盆底 BC的连接处都是一段与 BC相切的圆弧，
B、 C在水平线上，其距离 d＝ 0.5 m ．盆边缘的高度为 h＝
图2
0.30 m ．在 A 处放一个质量为 m的小物块并让其由静止下滑．已知盆内侧壁是光滑的，
图7 (1) 滑块到达底端 B 时对轨道的压力； (2) 滑块与传送带间的动摩擦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数 μ；
(3) 此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量
Q.
答案 (1)60 N ，方向竖直向下 (2)0.3 (3)4 J
解析 (1) 滑块由 A 到 B 的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR＝
1 2mvB
2． [ 几个重要功能关系的理解 ] 从地面竖直上抛一个质量为 m的小球，小球上升的最大高度
为 h. 设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为 A．小球上升的过程中动能减少了 mgh
Ff . 下列说法正确的是
()
B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了
Ff h
C．小球上升的过程中重力势能增加了 mgh
(3) 摩擦生热的计算： Q＝Ff s 相对． 其中 s 相对 为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能
量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
例 2 如图 6 所示，质量为 m的长木块 A静止于光滑水平面上，在其水平
考点三 能量守恒定律及应用
列能量守恒定律方程的两条基本思路：
(1) 某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2) 某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．
例 3 如图 8 所示有一倾角为 θ ＝37°的硬杆，其上套一底端固定且
劲度系数为 k＝120 N/m 的轻弹簧，弹簧与杆间无摩擦．一个质量
而盆底 BC面与小物块间的动摩擦因数为 则停下的位置到 B 的距离为
μ＝ 0.10. 小物块在盆内来回滑动， 最后停下来， ()
A． 0.50 m
B． 0.25 m
C． 0.10 m
D．0
答案 D
x 3m 解析 由 mgh＝ μ mgx，得 x＝3 m，而 d＝ 0.5 m ＝ 6，即 3 个来回后，恰停在 B 点，选项
1 mgsin θ － μ mgcos θ ＝kx， x＝ 60 m
此过程由能量守恒定律可得：
mg·（l ＋ x)sin
θ ＝ W弹＋ μ mgcos
θ
(
l
＋
x)
＋
1 mvm
2
2
而
W弹
＝
1 2kx
2
11 30 代入数据解得： vm＝ 30 m/s ＝ 2 m/s
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
电场力做正功
电势能减少
其他力 ( 除重力、弹力外 ) 做正功
机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，
或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了
Ff h
答案 C
解析 根据动能定理， 上升的过程中动能减少量等于小球克服重力和阻力做的功，
为 mgh
＋ Ff h，小球上升和下降的整个过程中动能减少量和机械能的减少量都等于整个过程中克
服阻力做的功，为 2Ff h， A、 B、 D 错，选 C.
3． [ 能的转化和守恒定律的应用 ] 如图 1 所示，美国空军 X－ 37B 无人
要画出它们的位移草图． 解析 (1) 设 B 从 A的右端滑出时， A的位移为 l ， A、 B 的速度分别为 vA、 vB，由动能定
理得
μ
mgl＝
1 2
mvA
2
( F－ μmg) ·（l ＋L) ＝ 1mvB 2 2
又由同时性可得
vA vB
F－ μ mg
aA＝ aB( 其中 aA＝ μ g， aB＝ m )
考点一 功能关系的应用
1．在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析．
2．只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
3．只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
4．只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析．
例 1 如图 4 所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的