面上的 M 1(垂 x,y,0 足 )在准 C上 线 ,故M 点 的横坐 x和纵y坐 满标 足F 方 (x,y程 )0.
a
9
柱面 的方F (程 x,y) 是 0. z
M(x,y,z)
一 ,只 般 含 x、 地 y而缺 z
的方 F(程 x,y)0在空间直CO
y
角坐标系中行 表于 示 x 母M 线 1(x,y,平 0)
一般曲面的方程和图形
一、曲面方程的概念 二、柱面方程与图形 三、旋转曲面方程与图形 四、锥面方程与图形
a
1
一、曲面方程的概z念 F (x,y,z)0
在空间解析几何中,任何
S
曲面都看作点的几何轨迹.
如果曲S面与三元方程 o
F(x, y,z) 0
x
有下述关:系
y
(1) 曲面S上任一点的坐标方 都程 满 ; 足
曲线 C:f(y,z)0绕z轴旋转的旋 : 转曲 f(x2y2,z)0.
曲线 C:f(y,z)0绕y轴旋转的旋 : 转曲 f(y,x2z2)0.
曲线 C:f(x,y)0绕x轴旋转的旋 : 转曲
f(x,y2z2)0.
a
3
例2 求过(点 1,2,5)且和三个坐标切 平面 的球面. 方程
解 根据题意可知该于 球第 面七 位卦. 限 设球面半径为a. 则球心坐 (a,标 a,为 a). 球面 (x 方 a )2 (y 程 a )2 (为 z a )2 a 2
将(点 1,2,5)代入球面 ,经方 整程 理后 得
C
设在 yOz坐标面上有一已知
曲线C,它的方程f是 (y,z) 0,
O
y
把该曲线 z轴绕旋转一,周 x
得到一个z以 轴为轴的旋转.曲面
a
15
a
16
z
M 1(设 0,y1,z1)为曲 C上 线任 一,那 点么 f(y 有 1,z1)0.
M 1(0,y1,z1)
当曲C线 绕z轴旋转 , 时
条曲线,其方程为 F(x, y) 0.
对空间 M(x中 ,y,z)的 , 点CO
y
如果其横 x和 坐纵 标坐 y 标 x M1(x,y,0)
满足方 F(x,程 y)0,则点 M1(x,y,0)在准C线 上 ,于
是点 M(x,y,z)在过 M1的母,线 即M 上 在柱面 上 .
,反 对之 柱 上 面的任 M(一 x,y,z点 )它 , 在 xOy
(2)不在曲S面 上的点的坐标都 方不 程 , 满足
,方 那 程 么 就 S的 叫方 ,曲 做 S程 就 面 曲叫 面
程的 . 图形
a
2
例1 设动 M (x 点 ,y,z)到定 M 0(点 x0,y0,z0)的距离 为定 R,求 长动 M满 点足的曲 . 面方程 解 根据题 M 0M 意R 有 ,
表示母线平行于z轴
的圆柱面，它的准线
是xOy平面上的圆：
x2y2R2.
a
7
二、柱面方程与图形
平行于定直线并沿 定曲线C 移动的直线 L 所形成的曲面叫做柱面.
L C
定曲线 C叫做柱面的,准线 动直线 L叫做柱面的.母线
a
8
设柱面的母线平行于
z
z轴,准线C 是xOy面上的一
M(x,y,z)
O
y
x
平x 面 y0.
平x 面 z 0 .
母线平行于z 轴,
母线平行于y 轴,
准线是xOy面上的直线准线是xOz面上的直线
x y 0.
x z 0.
a
14
三、旋转曲面方程与图形
一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一
周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
旋转曲线叫做旋转曲面的母线, 定直线叫做旋转曲面的轴.
a28a150, 可a 解 3 或 a 得 5 .
球面 (x 方 3 )2 (程 y 3 )2 为 (y 3 )2 3 2或
(x 5 )2 (y 5 )2 (y 5 )2 5 2
a
4
例3 方x程 2y2z22x4y0表示怎样 ? 解 通过配方, 原方程可以改写成
(x 1 )2 (y 2 )2 z 2 5 . 原方程表 M 0(示 1,2,0)球 半 , 心 径 R在 为 5的点 球 .
M C
点 M 1绕 z轴转到M 另 (x,y,一 z), 点O
y
这时 zz1保持不 , 变 x
且 M 到 点 z轴的 d距 x 2 y 2 离 y 1.
将 z 1 z ,y 1 x 2 y 2 代 f ( y 1 ,z 1 入 ) 0 ,有
f(x2y2,z)0.
此即所求旋转曲面的方程.
a
17
2
0
-2
-2 -1 0 1 2
椭 圆 柱 ax22面 by22 1
母线平行于 z轴，准
线为 xoy 面上的椭圆
x2 a2
y2 b2
1.
a
11
抛物柱面
方程y=2px2称为母线平行于z轴的抛物柱面.
a
12
双曲柱面
方程
y2 b2
ax称22 为1母线平行于z轴的双曲柱面.
a
13
z
xy0
z
xz0
O
y x
(x 2 ) 2 (y 1 ) 2 ( z 4 ) 2 ,
化简 2 x 可 6 y 2 z 得 7 0 .
a6ຫໍສະໝຸດ 例 方程 x2y2表R 示2怎样的曲面？
解 方程 x2y2在xR O2y面上表示圆心在原点O、半径为 R的圆. 在空间直角坐标系
中，此方程不含z，仅
含x、y，故此方程：
x2y2R2.
z轴的,柱 其面 准线 xO面 是 y 上的 C:曲 F(x,线 y)0.
,只 类 x 、 含 z而 似 y的 缺 地 G 方 (x ,z) 程 0 表 母线 y轴 平 的 .行 柱 于 面
y、 只 z而含 x缺 的方 H (y,z 程 )0表示母 行x于 轴的 . 柱面
a
10
2 0 -2
即 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R , 所求 x 方 x 0 2 程 y y 0 2 为 z z0 2 R 2 .
球心 M 0(在 x0,y0,点 z0)半 , 径 R 的 为 球.面 特别 ,球地 心在 ,方原 程 x2y 点 2 为 z2 时 R 2.
a
5
例 4 设 有 A (1 ,2 ,3 )点 和 B (2 , 1 ,4 )求 , 线 A的 B 段 垂 直平分 . 面的方程
解 由 题意 ,所 可 求 知 的平A面 和 B等 就距 是离 与 的点的几 . 何轨迹
设(x, y,z)为所求平面上的,任 由一 于点
AMBM ,
所( 以 x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 ( z 3 ) 2