2017年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（）A．加号B．减号C．乘号D．除号2．（3分）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10﹣9米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米D．1.2×10﹣7米3．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2﹣5x3=﹣2x B．6x3÷2x2=3xC．（x3）2=x6D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x﹣125．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2=（）7．（3分）如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（）A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位8．（3分）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍D．18倍9．（3分）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是（）A．6，6.5 B．6，7 C．6，7.5 D．7，7.510．（3分）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，第小题4分，共16分）11．（4分）分解因式：﹣3x3+12x2﹣12x=．12．（4分）如图，已知⊙O的半径为30mm，若AB=36mm，则点O到AB的距离为mm．13．（4分）如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．14．（4分）关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（﹣1）2017+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．17．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）18．（8分）某校将举办“心怀感恩•孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．（1）本次调查抽取的人数为，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（含40分钟）的人数为；（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．19．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC，S△PBC=4．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AF=1，tan∠N=，求⊙O的半径r的长；（3）在（2）的条件下，求BE的长．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD 分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为．22．（4分）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2=有正整数解的概率为．23．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为．24．（4分）如图，△A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，…，A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、A n在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2017的长为．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN ∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．27．（10分）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=CE；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D，连接AC、BC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点M 的坐标为（﹣1，0）．问：是否存在这样的直线l，使得OF+MF最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）①若P′为抛物线上一动点，且∠ACP'=∠BCO，请求出点P'的坐标；②在抛物线第三象限的图象上有两点R与E（点R在点E右侧），且RE∥x轴，过点A作x轴的垂线AN'，连接AE，在线段AE上有一点G，作射线RG交垂线AN'于点N，当2∠ERG+∠EGR=90°，且AE：RN=3：2时，求RE的长及△REG的面积．2017年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（）A．加号B．减号C．乘号D．除号【解答】解：（﹣2）+（﹣3）=﹣5；（﹣2）﹣（﹣3）=﹣2+3=1；（﹣2）×（﹣3）=6；（﹣2）÷（﹣3）=，则在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是加号，故选A2．（3分）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10﹣9米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米D．1.2×10﹣7米【解答】解：0.00000012=1.2×10﹣7．故选D．3．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2﹣5x3=﹣2x B．6x3÷2x2=3xC．（x3）2=x6D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x﹣12【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、（x3）2=x6，选项错误；D、﹣3（2x﹣4）=﹣6x+12，选项错误．故选B．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠E=90°﹣∠COB=30°，∴sin∠E=．故选A．6．（3分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2=（）A．55°B．30°C．50°D．60°【解答】解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴∠2=∠4=50°．故选C．7．（3分）如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（）A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位【解答】解：根据图形，△DEF向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．故选A．8．（3分）将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍D．18倍【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，∴这两个相似三角形的相似比为1：3，∴这两个相似三角形的周长比为1：3，∴周长扩大为原来的3倍，故选：B．9．（3分）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是（）A．6，6.5 B．6，7 C．6，7.5 D．7，7.5【解答】解：这20户家庭日用电量的众数是6，中位数是（6+7）÷2=6.5，故选A．10．（3分）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（）A． B．C．D．【解答】解：设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，根据题意可得：+=33，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，第小题4分，共16分）11．（4分）分解因式：﹣3x3+12x2﹣12x=﹣3x（x﹣2）2．【解答】解：原式=﹣3x（x﹣2）2．故答案为：﹣3x（x﹣2）2．12．（4分）如图，已知⊙O的半径为30mm，若AB=36mm，则点O到AB的距离为24mm．【解答】解：过O作OM⊥AB于M，则由垂径定理得出AM=BM=AB=18cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：OM===24（mm），即点O到AB的距离是24mm，故答案为：24．13．（4分）如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为36米．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα=，∴α=30°．则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．14．（4分）关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为2．【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）≥0，即12﹣4m≥0，解得：m≤3，∴偶数m的最大值为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（﹣1）2017+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．【解答】解：（1）原式=﹣1+8+1+|﹣2×|=8；（2）∵a=2，b=3，c=﹣1，∴△=9﹣2×4×（﹣1）=17＞0，则x=．16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．【解答】（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵BD=3，∴BC=2BD=6，∵△ABD∽△CBE，∴，即，解得：AB=9，∴AC=AB=9．17．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=20，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．18．（8分）某校将举办“心怀感恩•孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．（1）本次调查抽取的人数为50，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（含40分钟）的人数为320；（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．【解答】解：（1）8+10+16+12+4=50人，1000×=320人；（2）列表如下：共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，所以P（恰好抽到甲、乙两名同学）==．19．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC，S△PBC=4．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA=OB，∵S=4，即OB×PB=4，△PBC∵P（n，2），∴PB=2，∴OA=OB=4，∴P（4，2），B（4，0），A（﹣4，0）．将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，解得：．∴一次函数解析式为y=x+1；将P（4，2）代入反比例解析式得：2=，解得：m=8，∴反比例解析式为y=．（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形．过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，如图所示．令一次函数y=x+1中x=0，则有y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵CD∥x轴，∴设点D坐标为（x，1）．将点D（x，1）代入反比例解析式y=中，得：1=，解得：x=8，∴点D的坐标为（8，1），即CD=8．∵P点横坐标为4，∴BP与CD互相垂直平分，∴四边形BCPD为菱形．故反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，1）．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD 于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AF=1，tan∠N=，求⊙O的半径r的长；（3）在（2）的条件下，求BE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠DBC，∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠ODB+∠BDC=90°，∴OD⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（2）解：∵∠FNH=∠ABC，OD⊥AC，BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠AOD=∠ABC=∠FNH，在Rt△AOD中，设OD=3k，AD=4k，则AO=5k，∵AO=OD+AF=3k+1，∴3k+1=5k，解得：k=，∴r=3k=；（3）解：连接BN，由题意可得：BF=2r=3，∵∠FNH+∠BNH=∠BNH+∠NBH=90°，∴∠FNH=∠NBH，∴=，∵=，∴设BH=3a，则HN=4a，故FH=a，则a+3a=3，解得：a=，故BH=，∵DO∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴=，∴=，解得：BC=，∵∠C=∠FDB=90°，∠ABD=∠CBD，∴△BCD∽△BDF，则=，故BD2=BF•BC=，∴BD=，∵∠EHB=∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD，∴△BHE∽△BCD，则=，∴BE=•BD=．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD 分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为300m2．【解答】解：由题意可得：DC∥AF，则△EDC∽△EAF，故=，则=，解得：AD=，故S=AD•AB=•x=﹣x2+30x，=﹣（x﹣20）2+300，即y的最大值为300m2．故答案为：300m2．22．（4分）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2=有正整数解的概率为．【解答】解：解分式方程得：x=，∵分式方程的解为正整数，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a=﹣2，0，1，当a=﹣2，x=，∵分式方程的解为正整数，∴x=不合题意，当a=1时，x=2不合题意，∴a=0，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．故答案为：．23．（4分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为．【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，则AF=CF，∴AE﹣AF=CD﹣CF，即DF=EF，∴=，又∵∠AFC=∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴==，设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，在Rt△ADF中，AD===4x，又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，∴==．故答案为：．24．（4分）如图，△A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，…，A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、A n在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2017的长为22015．【解答】解：∵OA2=1，∴OA1=，OA2=1，OA3=2，OA4=4，∴OA n=2n﹣2，∴OA2017=22015，故答案为：22015．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN ∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有①②③⑤．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵PM⊥AC，∴∠AEP=∠AEM=90°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；②∵△APE≌△AME，∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴AE=PE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；③∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确；④∵△APE≌△AME，∴AP=AM△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；⑤∵△APE≌△AME，∴AP=AM，∴△AMP是等腰直角三角形，同理，△BPN是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P是AB的中点，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶3h后加油，中途加油31L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．【解答】解：（1）从图象中可以看出，汽车行驶3小时后加油，中途加油45﹣14=31升；（2）因为函数图象过点（0，50）和（3，14），所以设函数关系式为y=kt+b，则，解得，因此，y=﹣12t+50；（3）油箱中的油够用．∵汽车加油前行驶了3小时，行驶了3×70=210（km），用去了50﹣14=36升油，而目的地距加油站还有210km，∴要达到目的地还需36升油，而中途加油31升后有油45升，即油箱中的剩余油量是45升，所以够用．因此，要到达目的地油箱中的油够用．27．（10分）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=CE；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．【解答】解：（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：∵∠FEC=∠DCE=90°，∴EF∥CD，∴∠PFE=∠PDG，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴在△PEF和△PGD中∴△PEF≌△PGD（AAS），∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD．∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE，CP=EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形．∴PE=CE；（2）PE=CE，理由如下：如图（2）所示：延长EP交CD的延长线于点G，∵∠FEB+∠DCB=180°，∴EF∥CD，∴∠PEF=∠PGD，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴在△PEF和△PGD中，，∴△PEF≌△PGD（AAS），∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD．∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE，CP=EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形．∴PE=CE．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D，连接AC、BC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点M 的坐标为（﹣1，0）．问：是否存在这样的直线l，使得OF+MF最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）①若P′为抛物线上一动点，且∠ACP'=∠BCO，请求出点P'的坐标；②在抛物线第三象限的图象上有两点R与E（点R在点E右侧），且RE∥x轴，过点A作x轴的垂线AN'，连接AE，在线段AE上有一点G，作射线RG交垂线AN'于点N，当2∠ERG+∠EGR=90°，且AE：RN=3：2时，求RE的长及△REG的面积．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；（2 ）存在，如图1，作点O关于AC的对称点E，连接EM、AE，CE，EM与直线AC交于F，连接OF，∵OA=OC，=ME，∴易知，四边形AOCE是正方形，此时（MF+OF）最小∴AE=OC=3，∵M（﹣1，0），∴AM=2，过F作H1H2∥y轴，分别交x轴于H1，交EC于H2，∵AM∥EC，∴△AFM∽△CFE，∴，∴，∵H1H2=AE=3，∴FH1=，∴P的纵坐标为﹣，将y=﹣代入抛物线y=x2+2x﹣3中，解得，x=；∴P（，﹣）或（，﹣）；（3）①当P'在x轴的上方时，如图2，过E作EF⊥AC于F，∵OA=OC=3，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，设AF=EF=x，则AE=x，∵∠ACP'=∠BCO，∴tan∠ACP'=tan∠BCO，∴=，∴FC=3EF=3x，∵AC=3，∴x+3x=3，x=，∴AE=×=，∵E（﹣，0），设直线CE的解析式为：y=kx+b，把E（﹣，0）和C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线CE的解析式为：y=﹣2x﹣3，则，x2+2x﹣3=﹣2x﹣3，x2+4x=0，x（x+4）=0，x1=0（舍），x2=﹣4，∴P'（﹣4，5）；当P'在x轴的下方时，如图3，过A作AG⊥CP'于G，过G作EF⊥x轴于E，过C作CF⊥EF于F，∴∠AGO=90°，同理：∵∠ACP'=∠BCO，∴tan∠ACP'=tan∠BCO，∴，易得△AEG∽△GFC，∴=，∴GF=3AE，FC=3EG，设AE=b，EG=a，∵EF=OC=3，OE=FC=3a，∴，解得：，∴G（﹣，﹣），同理得：直线CG的解析式为：y=﹣x﹣3，则，x2+2x﹣3=﹣x﹣3，x2+x=0，x（x+）=0，x1=0（舍），x2=﹣，∴P'（﹣，﹣），综上所述，点P'的坐标为（﹣4，5）或（﹣，﹣）；②延长RE交AN于F，则RF⊥AN，∴∠ERG+∠FNR=90°，∵2∠ERG+∠EGR=90°，∴∠FNR=∠ERG+∠EGR，∵∠FNR=∠FAE+∠AGN，∠AGN=∠EGR，∴∠ERG=∠FAE，∵∠AFE=∠AFE=90°，∴△AFE∽△RFN，∴=，设R（x，x2+2x﹣3），∴，2x2+7x+3=0，（2x+1）（x+3）=0，x1=﹣，x2=﹣3（舍），∴R（﹣，﹣），由对称性得：E（﹣，﹣），∴RE=﹣=1，∴AF=，EF=FR﹣ER=3﹣﹣1=，∴FN=1，∴AN=AF﹣FN=﹣1=，∴N（﹣3，﹣），同理可得：RN的解析式为：y=﹣x﹣，AE的解析式为：y=﹣x﹣，则，∴，∴G（﹣，﹣），过G作GM⊥FR于M，∴GM=﹣=﹣==，∴S=ER•GM=×1×=．△REG赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：FAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.。