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山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题

2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹淸晰。

超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题:本题共8小題,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。

1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的大小关系为A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时,函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值,则sinα=A. B. C. D.8.函数,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题:本題共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合題目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调査了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到如图所示的列联表.经计算K2的观测值k≈4.762,则可以推断出A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10.已知函数f(x)=sin(3x+)(-<<)的图象关于直线x=对称,则A.函数f(x+)为奇函数B.函数f(x)在[,]上单调递増C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2\的最小值为满意不满意男30 20女40 10P(k2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x的图象11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则A.直线BD1丄平面A1C1DB.三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°,90°]D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F、准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),G(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则A.若X1+X2=6.则|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(O,1),则|PM|+|PP1|≥D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条三、填空題:本題共4小題,每小题5分,共20分。

13.己知向量a,b满足|a|=l,|b|=,a⊥(a+b),则a与b夹角为.14.已知随机变量X N(1,2),P(-1<X<1)=0.4,则P(X≥3)= .15.设点P是曲线y=e x+x2上任一点,则点P到直线x-y-1=O的最小距离为.16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA丄平面ABC,PA=6,AB=2,AC=2,BC=4,则:(1)球O的表面积为;(2)若D是BC的中点,过点D作球O的截面,则截面面积的最小值是。

(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。

17.(10分)在条件①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos(A+),③bsin=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, b+c=6,a=, _______________ ,求ΔABC的面积.注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n満足2S n=(n+1)a n(n∈N)且a1=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n-1)2an.求数列{b n}的前n项和T n.19.(12 分)20.如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD为直角梯形,AD∥BC,BC⊥CD,平面SCD丄平面ABCD.ΔSCD是以CD为斜边的等腰直角三角形,BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点,且BE=2ES.(1)证明:直线SD∥平面ACE;(2)求二面角S-AC-E的余弦值。

21.(12 分)已知椭圆的的离心率为,F是其右焦点,直线y=kx与椭圆交于A,B两点,|AF|+|BF|=8.(1)求椭圆的标准方程;(2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角,求实数k的取值范围.22.(12 分)某企业拥有3条相同的生产线,每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立,且出现故障的概率为.(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率;(2)为提高生产效益,该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力,且每月固定工资为1万元.此外,统计表明,每月在不岀现故障的情况下,每条生产线创造12万元的利润;如果出现故障能及时维修,每条生产线创造8万元的利润;如果出现故障不能及时维修,该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=1与n=2之中选其一,应选用哪个?(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)23.(12分)已知函数,其中O<a<e.(1)求函数f(x)的单调区冋;(2)讨论函数f(x)零点的个数;(3)若f(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2<e2.2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6. D7.B8.A 二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC 三、填空题13.34π14.0.1 16. 52π,4π四、解答题17.解:若选①:由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-, ………………………………2分 即222b c a bc +-=,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===, ……………………………………4分 因为(0,)A π∈,所以3A π=. …………………………………………6分又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-,a =6bc +=,所以4bc =, …………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ……………………………10分若选 ②:由正弦定理得 sin sin sin cos()6A B B A π=+. …………………………2分因为0B π<<,所以sin 0B ≠,sin cos()6A A π=+,化简得1sin sin 2A A A =-, ………………………………………4分即tan A =0A π<<,所以6A π=. …………………………6分 又因为2222cos6a b c bc π=+-,所以2222bc =,即24bc =- ……………8分所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分若选 ③:由正弦定理得 sin sinsin sin 2B CB A B +=, ……………………………2分 因为0B π<<,所以sin 0B ≠, 所以sin sin 2B CA +=,又因为BC A π+=-, 所以cos2sin cos 222A A A=, ………………………………………………4分 因为0A π<<,022A π<<,所以cos 02A≠, ∴1sin22A =,26A π=,所以3A π=.……………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-,a =6bc +=,所以4bc =, ………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= …………………………10分18.解:(1)因为2(1)n n S n a =+,*n ∈N ,所以112(2)n n S n a ++=+,*n ∈N .两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+,整理得 1(1)n n na n a +=+,. ………………………………………………2分 即11n n a a n n +=+,*n ∈N ,所以{}n an为常数列. 所以121n a a n ==, ………………………………………4分 所以 2n a n =. …………………………………………………5分(2)(1)2=(21)4n a nn n b a n =--. ……………………………………………6分所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-L231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分两式相减得:23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L , …………………9分2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯--⋅-, …………………11分 化简得 120(65)4+99n n n T +-=. ……………………………………12分 19.解:(1)连接BD 交AC 于点F ,连接EF .因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似.所以2BF BCFD AD==. ………………………………………………1分 又=2BE BFES FD=,所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE ,所以直线//SD 平面ACE .……………………………………4分(2)平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD I 平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分以C 为坐标原点,,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. ……6分则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E ,(0,2,2)CA =u u u r ,(1,1,0)CS =u u u r ,224(,,)333CE =. ………7分设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r gu u u r gm m ,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)=-m . …………………9分设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u ur g n n ,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)=--m . …………………11分设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3θ==g m n m n . 所以二面角S AC E --的余弦值为13. ……………………………………12分20.解:(1)设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF F B =,所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =, …………………2分又ce a==,222a b c =+,解得2b =,c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. ……………………………………5分(2)设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-u u u r ,22(3,)QB x y =-u u u r,……6分联立221164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩,得22(41)160k x +-=,所以120x x += ,1221641x x k -=+, ……………………………………8分 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB >u u u r u u u rg . ……………………………………9分所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分2216(1)9041k k +=->+, 解得k或k <. ……………………………………12分21.解:(1)设3条生产线中出现故障的条数为X ,则1(3,)3X B :. ……………………………………………………2分因此112312124(1)()()=33279P X C ===. ……………………………………4分(2)①当1n =时,设该企业每月的实际获利为1Y 万元.若0X =,则1123135Y =⨯-=; 若1X =,则1122+81131Y =⨯⨯-=;若2X =,则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=;若3X =,则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=; ……………………6分又0033128(0)()()3327P X C ===,2213126(2)()()3327P X C ===,3303121(3)()()3327P X C ===, ………………8分 此时,实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时,设该企业每月的实际获利为2Y 万元. 若0X =,则2123234Y =⨯-=;若1X =,则2122+81230Y =⨯⨯-=; 若2X =,则2121+82226Y =⨯⨯-=;若3X =,则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=; ………………………11分28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n =与2n =之中选其一, 应选用2n =. ………………………………………………12分 22. 解:(1)函数()f x 的定义域为{|0}x x >.()2113'()ln ()222f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-, ………………1分()(ln 1)x a x =--令()0f x '=,得x a =或e x =. ………………………………………… 2分因为0e a <<,当0x a <<或e x >时,()'0f x >,()f x 单调递增;当e a x <<时,()'0f x <,()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ,()e,+∞,减区间为()e ,a . …………………………………………………………………4分(2)取=min{1,2}a δ,则当(0,)x δ∈时,102x a -<,ln 0x <,3204a x ->, 13()()ln (2)024f x x x a x x a x =-+->;又因为0e a <<,由(1)可知()f x 在(0,)a 上单增,因此,当(0,]x a ∈,恒()0f x >,即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………5分 下面讨论x a >的情况: ①当e 04a <<时,因为()f x 在(,e)a 单减,(e,)+∞单增,且()0f a >,e(e)e()04f a =-<,241(e )=e 04f >,根据零点存在定理,()f x 有两个不同的零点. ……………………6分②当e =4a 时,由()f x 在(,e)a 单减,(e,)+∞单增,且(e)0f =, 此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分 ③若e e 4a <<,由()f x 在(,e)a 单减,(e,)+∞单增,e ()(e)e()04f x f a ≥=->, 此时()f x 无零点. ……………………………………………8分 综上,若e 04a <<,()f x 有两个不同的零点;若e =4a ,()f x 有唯一零点e ;若e e 4a <<,()f x 无零点.(3)证明:由(2)知,e 04a <<,且12e a x x <<<. 构造函数2e ()()()F xf x f x=-,(,e)x a ∈. ………………………………9分 则()F x '=4232e e ()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x----- 43243e e (ln 1)x ax ax x x-+-=-. ……………………………………10分 令4324()e e g x x ax ax =-+-,(,e)x a ∈.因为当(,e)x a ∈时,22e 0x ax +->,22e 0x -<,所以43242222()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--又ln 1lne 10x -<-=,所以()0F x '>恒成立,即()F x 在(,)a e 单增.于是当e a x <<时,()(e)0F x F <=,即 2e ()()f x f x <. ………………11分 因为1(,e)x a ∈,所211e ()()f x f x <, 又12()()f x f x =,所以221e ()()f x f x <, 因为2e x >,221e e e ex >=,且()f x 在(e,)+∞单增, 所以由221e ()()f x f x <,可得221e x x <,即212e x x <. ………………………12分。

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