2020年中考数学试题分类汇编之十相似三角形一、选择题1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．103解：直线123////l l l ，∴AB DEBC EF=， 5AB =，6BC =，4EF =，∴564DE =， 103DE ∴=， 选：D ．2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )A ．AE EFEC CD= B ．EF EGCD AB= C ．AF BGFD GC= D ．CG AFBC AD= 解：//EF BC ，∴AF AEFD EC=， //EG AB ，∴AE BGEC GC=， ∴AF BGFD GC=， 故选：C ．3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ．故选：A4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则∠DEC ＝∠DEB ＝90°， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ABED 是矩形， ∴BE ＝AD ＝2，DE ＝AB ＝2，∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ， ∴△A ′CA ∽△B ′CB ， ∴＝，∵△B ′CD 为等腰三角形， ∴△B ′CD 为等腰直角三角形， ∴CD ＝B ′C ，设B ′C ＝BC ＝x ，则CD ＝x ，CE ＝x ﹣2，∵CD 2＝CE 2+DE 2， ∴（x ）2＝（x ﹣2）2+（2）2，∴x ＝4（负值舍去）， ∴BC ＝4， ∴AC ＝＝2，∴＝，∴A ′A ＝，故选：A ．5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =，有下列结论：①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（ ）A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③解：①∵线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， ∴QD P AP C ≤＜,∴CP 与QD 不可能相等，则①错误； ②设AQ x =， ∵12PQ =，3AB =， ∴13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， 假设ΔAQD 与BCP ∆相似， ∵∠A=∠B=60°，∴AD AQ BP BC =，即121332x x =--， 从而得到22530x x -+=，解得1x =或 1.5x =（经检验是原方程的根）， 又 2.5x ≤≤0，∴解得的1x =或 1.5x =符合题意， 即ΔAQD 与BCP ∆可能相似，则②正确；③如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，过F 作DF ⊥AB 于F ，设AQ x =，由12PQ =，3AB =，得13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， ∴132PB x =--，∵∠B=60°，∴132P x E --=⎫⎪⎝⎭，∵12AD =，∠A =60°，∴1224DF =⨯=,则1115332222PBCSBC PE x x ⎫⎫=⨯=⨯--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1122DAQSAQ DF x x =⨯=⨯=， ∴四边形PCDQ 面积为：153+2242888ABC PBC DAQSS Sx x x ⎛⎫--=⨯⨯---= ⎪⎝⎭, 又∵ 2.5x ≤≤0，∴当 2.5x =时，四边形PCDQ 面积最大，最大值为：+ 2.5=8816，即四边形PCDQ 面积最大值为16， 则③正确；④如图，作点D 关于直线AB 的对称点D 1，连接D D 1，与AB 相交于点Q ，再将D 1Q 沿着AB 向B 端平移PQ 个单位长度，即平移12个单位长度，得到D 2P ，与AB 相交于点P ，连接PC ，∴D 1Q=DQ=D 2P ，11212AD D D AD ===，且∠AD 1D 2=120°， 此时四边形PCDQ 的周长为：2CP DQ CD PQ CD CD PQ +++=++，其值最小，OFE DCBA∴∠D 1AD 2=30°，∠D 2A D=90°，22AD =， ∴根据股股定理可得，2CD =，∴四边形PCDQ的周长为：211332222CP DQ CD PQ CD CD PQ ⎛⎫+++=++=+-+=+⎪⎝⎭, 则④错误，所以可得②③正确，故选：D ．6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）B. 2C. 4D. 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，而A （1，2），C （3，1）， ∴D （2，4），F （6，2）， ∴DF故选：D ．7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4D.1∶5 .答案C.8.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b 为2米，则a 约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米答案：A9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ， ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ， ∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ， ∴BE EG=AB CG=2k 3k=23，故选：C ．10．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A．15B．20C．25D．30解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，解得：x＝37.5，y＝50．答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．故选：B ．12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =k x（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18解：∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ， ∵M 、N 是OA 的三等分点，∴AN AM=12，AN AO=13，∴S △ANQ S △AMP=14，∵四边形MNQP 的面积为3，∴S △ANQ 3+S △ANQ=14，∴S △ANQ ＝1， ∵1S △AOB=（AN AO）2=19， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18， 故选：D ．13．（3分）（2020•荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2√3，D 为BC 的中点，AE =14AB ，则△EBD 的面积为（ ）A ．3√34B ．3√38C ．√34D ．√38解：连接AD ，作EF ⊥BC 于F ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∠B ＝∠C ＝30°在Rt △ABD 中，BD =12BC =√3，∠B ＝30°，∴AB =BDcos30°=√3√32=2，∴AD =12AB =1，∵AE =14AB ，∴BE AB=34，∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD=BE AB，∴EF 1=34∴EF =34， ∴S △BDE =12×BD ×EF =12×√3×34=3√38，选：B ．14．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似选：D ．15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．8√3D ．6√5解：如图，连接EC ，CH ．设AB 交CR 于J ．∵四边形ACDE ，四边形BCJHD 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE +∠ACB +∠BCH ＝180°，∠ACB +∠BCI ＝90°∴B ，C ，H 共线，A ，C ，I 共线，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴PC CQ =CE CH =EP HQ =12， ∵PQ ＝15，∴PC ＝5，CQ ＝10，∵EC ：CH ＝1：2，∴AC ：BC ＝1：2，设AC ＝a ，BC ＝2a ，∵PQ ⊥CRCR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 是平行四边形，∴AB ＝CQ ＝10，∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴5a 2＝100，∴a ＝2√2（负根已经舍弃），∴AC ＝2√5，BC ＝4√5，∵12•AC •BC =12•AB •CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4， ∵JR ＝AF ＝AB ＝10，∴CR ＝CJ +JR ＝14，故选：A ．16．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵EF ＝AD ，∴EF ＝BC ，∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ，∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ，∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2，又∵MN ＝BC ＝6，∴GN ＝2，GM ＝4，∴S △BCG ＝×10×4＝20，∴S △EFG ＝×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60，∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35．故选：C ．二、填空题17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为 * ．【答案】16. 提示：由△EAF ∽△EDA,得到：EF EA EA ED=,所以：2EA EF ED =,∴EF ED ⋅=1618.（2020河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．【答案】1【详解】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，垂足分别为P ，R ，R ，HR 与GQ 相交于I ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD DC BC ====90A ADC ∴∠=∠=︒，图7FB'EC'D CBA∴四边形AEPD 是矩形，∴EP AD ==∵点E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，∴12PC DC ==12FC BC == EP DC ⊥，GQ DC ⊥，GQ EP ∴//∵点G 是EC 的中点，GQ ∴是EPC ∆的中位线，12GQ EP ∴==，同理可求：HR =，由作图可知四边形HIQP 是矩形，又HP=12FC ，HI=12HR=12PC ， 而FC=PC ，∴ HI HP =，∴四边形HIQP 是正方形，∴IQ HP ==，∴22GI GQ IQ HI =-=== HIG ∴∆是等腰直角三角形，1GH ∴==故答案为：1．19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．【答案】14 5解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴AO OECD DE=，∴424 34nn-=-，解得：145n=，故答案：145．20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=_________．解:连接CE ，设CD=2x ，在RtΔACD 和RtΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x ，=，BC=12AC ，3=x ， ∵点E 为AD 的中点， ∴CE=AE=DE=12AD =2x ， ∴ΔCED 为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD ，∴AB ∥CE ，∴AF BF CF EF=， 在ΔBAE 中，∵∠BAE=∠CAD=30º ∴AF 平分∠BAE ，∴3322AB BF x AE EF x ===， ∴32AF BF CF EF ==， ∴35AF AC =， 故答案为：35.21.（2020无锡）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．解：如图1，作DG ∥AC ，交BE 于点G ，∴,BDG BAE ODG OCE △∽△△∽△，2,3DG BD AE AB ==∴ ∵13CE AE = , ∴221DG CE == ∵ODG OCE △∽△ ∴=2DG OD CE OC = ∴23OD CD = ∵AB=4 ∴23ABO ABC S S =△△ ∴若ABO 面积最大，则ABC 面积最大， 如图2，当点△ABC 为等腰直角三角形时，ABC 面积最大，为142=42⨯⨯， ∴ ABO 面积最大值为284=33⨯+ 故答案为：8322．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．23．（2020吉林）（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE 的面积为，则四边形DBCE的面积为．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE 的面积为， ∴△ABC 的面积为2，∴四边形DBCE 的面积＝2﹣＝， 故答案为：． 25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接AB '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13．【解答】解：90C ∠=︒，4cos 5A =， ∴45AC AB =，设4AC x =，5AB x =，则3BC x =， AE AE ⊥'，90AEA ∴∠'=︒，//A E BC '，由于折叠，(36090)2135A EB AEB ∴∠'=∠=-÷=︒，且△A EF BCF '∆∽， 45BEC ∴∠=︒，即BCE ∆为等腰直角三角形，3EC x ∴=，AE AC EC x A E ∴=-=='， ∴133A E A F x BC BF x ''===， 故答案为：13． 26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中： ①BF CE =；②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=；④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ；⑥CF DM BM DE =，正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）解：90ACB ∠=︒，90BCF ACE ∴∠+∠=︒，90BCF CBF ∠+∠=︒，ACE CBF ∴∠=∠，又90BFD AEC ∠=︒=∠，AC BC =，()BCF CAE AAS ∴∆≅∆， BF CE ∴=，故①正确；由全等可得：AE CF =，BF CE =，AE CE CF CE EF ∴-===， 连接FM ，CM ，点M 是AB 中点，12CM AB BM AM ∴===，CM AB ⊥， 在BDF ∆和CDM ∆中，BFD CMD ∠=∠，BDF CDM ∠=∠， DBF DCM ∴∠=∠，又BM CM =，BF CE =，()BFM CEM SAS ∴∆≅∆，FM EM ∴=，BMF CME ∠=∠，90BMC ∠=︒，90EMF ∴∠=︒，即EMF ∆为等腰直角三角形，EF AE CE ∴=-，故③正确，45MEF MFE ∠=∠=︒， 90AEC ∠=︒，45MEF AEM ∴∠=∠=︒，故②正确，设AE 与CM 交于点N ，连接DN ，DMF NME ∠=∠，FM EM =，45DFM DEM AEM ∠=∠=∠=︒， ()DFM NEM ASA ∴∆≅∆，DF EN ∴=，DM MN =，DMN ∴∆为等腰直角三角形，2DN DM ∴=，而90DEA ∠=︒，22222DE DF DN DM ∴+==，故④正确；AC BC =，90ACB ∠=︒，45CAB ∴∠=︒，AE 平分BAC ∠，22.5DAE CAE ∴∠=∠=︒，67.5ADE ∠=︒，45DEM ∠=︒，67.5EMD ∴∠=︒，即DE EM =，AE AE =，AED AEC ∠=∠，DAE CAE ∠=∠，()ADE ACE ASA ∴∆≅∆，DE CE ∴=，MEF ∆为等腰直角三角形，2EF EM ∴=，∴22EF EF EF EM BF CE DE ====，故⑤正确； CDM ADE ∠=∠，90CMD AED ∠=∠=︒，CDM ADE ∴∆∽，∴CD CM DM AD AE DE==， BM CM =，AE CF =，∴BM DM CF DE =， CF DM BM DE ∴=，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．27．（2020山西）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为 ．解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝，AD＝＝＝，∵FH∥EC，∴＝，∵EC＝EB＝2，∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH＝＝，∴＝，∴k＝，∴FH＝，CH＝3﹣＝，∴CF＝＝＝，∴DF＝﹣＝，故答案为．28．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为．解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝AC＝＝5，AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵△ABD的周长为26，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，∵AB＝AC＝10，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴∠B＝∠DAC，∴△ABC∽△DAC，∴＝，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝8，∴AM＝＝＝6，∴＝，∴DE＝，29．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM ＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为15√2米，BC为20√2米．【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝25√2，BN＝10√2，∴AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF ∽△CHM ，∴CH HM =AE EF =2515=53， ∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∴CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠PAB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°，∴∠PAB ＝∠CBQ ，∴△APB ∽△BQC ，∴AP BQ =PB CQ ， ∴153x+2=155x−10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2，故答案为：15√2，20√2．三、解答题30．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ．（2）设AF FC =12， ①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ，∴BE EC =AF FC =12，∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ，∴BE 12−BE=12，解得：BE ＝4； ②∵AF FC =12，∴FC AC =23， ∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ，∴S △EFCS △ABC =（FC AC ）2＝（23）2=49， ∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45． 31．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE AD =．EC 与BD 相交于点G ，与AD 相交于点F ，AF AB =．（1）求证：BD EC ⊥；（2）若1AB =，求AE 的长；（3）如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，90EAF DAB ∴∠=∠=︒，又AE AD =，AF AB =，()AEF ADB SAS ∴∆≅∆，AEF ADB ∴∠=∠，90GEB GBE ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90EGB ∠=︒，故BD EC ⊥，（2）解：四边形ABCD 是矩形，//AE CD ∴，AEF DCF ∴∠=∠，EAF CDF ∠=∠，AEF DCF ∴∆∆∽，∴AE AF DC DF=， 即AE DF AF DC =，设(0)AE AD a a ==>，则有(1)1a a -=，化简得210a a --=，解得aAE ∴． （3）如图，在线段EG 上取点P ，使得EP DG =，在AEP ∆与ADG ∆中，AE AD =，AEP ADG ∠=∠，EP DG =，()AEP ADG SAS ∴∆≅∆，AP AG ∴=，EAP DAG ∠=∠，90PAG PAD DAG PAD EAP DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，PAG ∴∆为等腰直角三角形，EG DG EG EP PG ∴-=-=．32．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH PQ ⊥于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 线段DH 长度的最小值为 ．解：连接EF 交PQ 于M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接OH ，OD ，过点O 作ON CD ⊥于N ．四边形ABCD 是矩形，DF CF =，AE EB =，∴四边形ADFE 是矩形，3EF AD ∴==，//FQ PE ，MFQ MEP ∴∆∆∽，∴MF FQ ME PE=， 2PE FQ =， 2EM MF ∴=，2EM ∴=，1FM =，当点P 与A 重合时，PQ 的值最大，此时PM ==，MQ ，PQ ∴=////MF ON BC ，MO OB =，1FN CN ∴==，3DN DF FN =+=，1()22ON FM BC =+=，OD ∴==BH PQ ⊥，90BHM ∴∠=︒，OM OB =，1122OH BM ∴== DH OD OH -， 132DH ∴-DH ∴故答案为-33.（2020福建）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．解：（1）则四边形ABCD 就是所求作的四边形．（2）∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠，∴ABP CDP ∆∆∽，∴AB AP CD CP． ∵,M N 分别为AB ，CD 的中点，∴2AB AM =，2CD CN =，∴=AM AP CN CP． 连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠，∴∽∆∆APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ，∴,,M P N 三点在同一条直线上．34.（2020河北）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离； （2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长． （1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小， ∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP AD PQ AB AC BC==，的∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23AP AB =， AE=2BC ·tan 3C =， 根据勾股定理可得AB=5， ∴2253AP MP AB +==， 解得MP=43； （3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动， P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ， 由（2）可知sinC=35， ∴d=35PQ ， ∵AP=x+2， ∴25AP x PQ AB BC+==， ∴PQ=285x +⨯， ∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +， 当3≤x≤9时，P 在BN 上运动， BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335， 综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．35.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.【解析】（1）123;S S S +=（2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F ，∴△ABD ∽△CAE ∽△BCF. ∴22122233,.S S AB AC S BC S BC ==∴221223.S S AB AC S BC++=∵△ABC 为直角三角形 ∴222AB AC BC +=.∴1231S S S +=，∴123S S S +=，∴成立.（3）过点A 作AH ⊥BP 于点H.∵∠ABH=30°，AB=∴3,60AH BH BAH ==∠=︒.∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴∴AP =，BP=BH+PH=3∴(33222ABP BP AH S ∆⋅+===.连接PD.∵2PE ED ==，∴PE ED AP AB ====. ∴.PEEDAP AB =又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP ∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，BDPE BP AP ==.∴∠BPD=90°，1PD =+∴213BPD ABP S S ∆∆=⋅==连接BD.∴32BPD PB PDS ∆⋅===.∵tan ∠PBD=PD BP =∴∠PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30°∵∠C=105°，∴△ABP ∽△EDP ∽△CBD.∴S △BCD =S △ABP +S △EDP 2=.∴S 五边形ABCDE =S △ABP +S △EDP +S △BCD +S △BPD=312)3)722+++=36．(2020苏州）.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC ∥．∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒．∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽．解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽， ∴AB AE DF AD=． ∵4BC =，E 是BC 的中点， ∴114222BE BC ==⨯=．∴在Rt ABE ∆中，AE == 又∵4AD BC ==，∴6DF =∴DF =26．（2020南京）（9分）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC AB C D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BC C D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由． （1）证明：AD A D AB A B ''=''， ∴AD AB A D A B =''''， CD AC AB C D A C A B ==''''''，∴CD AC AD C D A C A D ==''''''， ADC ∴∆∽△A D C ''，A A ∴∠=∠'，AC AB A C A B =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''． 故答案为：CD AC AD C D A C A D ==''''''，A A ∠=∠'． （2）如图，过点D ，D '分别作//DE BC ，//D E B C ''''，DE 交AC 于E ，D E ''交A C ''于E '．//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AE AB BC AC==， 同理，A D D E A E A B B C A C ''''''==''''''， AD A D AB A B ''=''，∴DE D E BC B C ''=''， ∴DE BC D E B C =''''，同理，AE A E AC A C ''=''， ∴AC AE A C A E AC A C -''-''=''，即EC E C AC A C ''=''， ∴EC AC E C A C =''''， CD AC BC C D A C B C ==''''''， ∴CD DE EC C D D E E C ==''''''， DCE ∴∆∽△D C E '''，CED C E D ∴∠=∠'''，//DE BC ，90CED ACB ∴∠+∠=︒，同理，180C E D ACB ∠'''+∠'''=︒， ACB A BC ∴∠=∠'''，AC CB A C C B =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''．23（2020湖北武汉）.问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽； 尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD =求DF CF 的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =AD 的长．问题背景：∵A ABC DE ∽△△，∴∠BAC=∠DAE ，AB AC AD AE= ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，∵90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，∴BAC DAE ∽， ∴AB AD AC AE=， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴ABD ACE ∽， ∴BD AD CE AE=， 由于30ADE ︒∠=，90DAE ︒∠=，∴30AE tan AD ︒==，即BD AD CE AE==，∵AD BD =∴3AD CE =， ∵90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，∴60C E ︒∠=∠=，又∵AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC ∽△△， ∴AF EF DF CF =，即AF DF EF CF=， 又∵AFD EFC ∠=∠∴ADF ECF ∽△△， ∴3DF AD CF CE==；拓展创新：AD =如图，在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD ，∠ABC=∠ABD+∠CBD ，30BAD CBD ︒∠=∠=， ∴∠ADE=∠ABC ，又∵∠DAE=∠BAC ，∴BAC DAE ∽， ∴AB AC BC AD AE DE==， 又∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴BAD CAE ∽，∴=BD AB AD CE AC AE === 设CD=x ，在直角三角形BCD 中，由于∠CBD=30°，∴BD =，2BC x =， ∴32CE x =，∴DE x =， ∵AB BC AD DE=，∴4AD =∴AD37．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；38．（2020四川眉山）（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．（1）证明：∵AD2＝DF•DB，∴＝，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴∠ABD＝∠FAD，∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF，∴△ADC≌△BAF（ASA），∴AD＝BF．（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°，∴DC＝AC，∴CE＝BC，∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，∴tan∠DBE＝＝．②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，∴BD＝＝＝2，∵∠ABC＝∠DCE＝60°，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴DF＝39．（2020山东泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．【解答】解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG=12EC=92，∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG=√DG2+BD2=√(92)2+62=152，∴CB=152−92=3，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√62+32=3√5，∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC ∽△EDC ，∴AC EC =BC CD ， ∴3√59=3CD， ∴CD =9√55，∴AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55．40．（2020浙江宁波）（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2＝AD •AB ．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，又∵∠BFE ＝∠A ，∴∠BFE ＝∠C ，又∵∠FBE ＝∠CBF ，∴△BFE ∽△BCF ，∴BF BC =BE BF ，∴BF 2＝BE •BC ，∴BC =BF 2BE =423=163， ∴AD =163． （3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∠BAC =12∠BAD ，∵AC ∥EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形，∴AC ＝EG ，CG ＝AE ，∠EAC ＝∠G ，∵∠EDF =12∠BAD ，∴∠EDF ＝∠BAC ，∴∠EDF ＝∠G ，又∵∠DEF ＝∠GED ，∴△EDF ∽△EGD ，∴ED EG =EF DE ，∴DE 2＝EF •EG ，又∵EG ＝AC ＝2EF ，∴DE 2＝2EF 2，∴DE =√2EF ，又∵DG DF =DE EF ，∴DG =√2DF =5√2，∴DC ＝DG ﹣CG ＝5√2−2．．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DE ，BF 分别平分∠ADC ，∠ABC ，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合）．在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使BM ＝2FN ．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中点，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF＝EM，∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，∴∠DEA＝30°，∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，∴∠DFM＝∠DEM＝120°，∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB＝∠FBE＝30°，∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，∴MH=12BM＝2，∴EH＝4+2＝6，由勾股定理得：HB=√BM2−MH2=√42−22=2√3，∴BE=√EH2−HB2=√62+(2√3)2=4√3，当DP＝DF时，−65x+12＝4，解得：x=20 3，∴BQ＝14﹣x＝14−203=223，∵223＞4√3， ∴BQ ＞BE ； ②（Ⅰ）当PQ 经过点D 时，如图3所示： y ＝0，则x ＝10；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示： ∵BF ＝16，∠FCB ＝90°，∠CBF ＝30°，∴CF =12BF ＝8， ∴CD ＝8+4＝12，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ，∴FQ DP =CF CD ， ∴2+x −65x+12=812，解得：x =103； （Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示： ∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PEBQ =AEAB ，由勾股定理得：AE =√DE 2−AD 2=√122−62=6√3， ∴AB ＝6√3+4√3=10√3，∴12−(−65x+12)14−x=√310√3， 解得：x =143， 由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x ＝10或x =103或x =143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．。