L1[
2! p3 ]

1 t 2e2t 2
(2) f (t) L1[2 pp25]

2L1[
1p
]

5L1[
1 p2
]
2 5t
(3) f (t) L1[ 4p2p34]

4L1[
p2p4]
3 2
L1[
p224]

4
cos
2t

3 2
sin
2t
(4)
f
(t )
三、进一步的练习
练习1
求下列象函数的逆变换
(1)
F
(
p)

(
1 p3)3
(2)
F( p)

2 p5 p2
(3)
F
(
p)

4 p3 p24
(4)
F( p)
2 p3 p22 p5
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得
f
(t)

L1[ (P
1 3)3
]

e
2t
L1[
1 P3
]

e2t 2
再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 y(0) 2, y(0) 1
的微分方程解为
y(t) 1 et 4et 7 e2t
3
3
第一节 函数及其图形
精品课件！
第一节 函数及其图形
精品课件！
将初始条件 y(0) 2, y(0) 1 代入上式，得
代数方程的解 ( p2 3 p 2)Y 2 2P 7 P 1
即
Y 2p2 5p 5
( p 1)( p 1)( p 2)
1
7
将上式分解为 Y 3 4 3 p 1 p 1 p 2
还原为微分方程的解．
练习3 [解二阶常系数线性微分方程] 用拉氏变换求微分方程
y(t) 3y(t) 2y(t) 3et
满足初始条件 y(0) 2, y(0) 1的解．
解 设 L[ y(t)] Y ( p) Y , 并对方程两端进行拉氏
变换，则有
[ p2Y py(0) y(0)] 3[ pY y(0)] 2Y 2 P 1

L1

2P 3 P2 2P
5


L1

2(P 1) (P 1)2

5 4


2L1

(P
P 1 1)2
4


5 2
L1

(P
2 1)2

4


2et
L1

p p2
4


5 2
et
一、案例 [自动控制]
拉氏逆变换是由象函数求原函数．如在自 动控制中，利用拉氏变换可以将常系数微 分方程变换为象函数的代数方程求解，但 最后，又需要再将象函数的代数方程解还 原为微分方程的解．
二、 概念和公式的引出 拉氏逆变换 若F (p)为f (t)的拉氏变换，则称f (t) 为F (p)的拉普拉斯逆变换，记作
L1

2 p2
4

ห้องสมุดไป่ตู้
2et cos 2t 5 sin 2t 2
练习2 [解一阶微分方程]
求微分方程 x(t) 2x(t) 0 满足初始条件 x(0) 3 的解． 解 对方程两端进行拉氏变换，并设 L[x(t)] X ( p) ， 则 L[x(t) 2x(t)] L[0] ，即
pX ( p) x(0) 2X ( p) 0 将 x(0) 3 代入上式，有
( p 2)X ( p) 3
所以象函数的解为
X ( p) 3 p2
用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程，
满足初始条件 x(0) 3的解为
x(t) L1[x( p)] L1[ 3 ] 3e2t p2
注：拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解．起到化难为 易的作用．
用拉氏变换求解常系数常微分方程的过程如下： 第一步 对微分方程进行拉氏变换； 第二步 解拉氏变换象函数的代数方程； 第三步 将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换，
f (t) L1[F( p)]
拉氏变换具有如下性质： 性质1(线性性质)
L1[a1F1(t) a2F2 (t)] a1 f1( p) a2 f2 (t)
性质2(平移性质)
L1[F( p a)] eat f (t)
性质3(延滞性质)
L1[eapF( p)] f (t a)u(t a)