代数式的恒等变形
一、常值代换求值法——“1”的妙用
例1 、 已知ab=1，求2
211
11b
a +++的值 [解] 把ab=1代入，得
22
11
11b a
+++ =22
b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++
+
=1
例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
同理
练习：
1
111,1=++++++++=c ca c
b b
c b a ab a abc 证明：若
二、配方法
例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求
b a a b +之值。
[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1
=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2
则有(ab-1)2+(a-b)2=0
∴⎩⎨
⎧==-.1,0ab b a
解得⎩⎨
⎧==;1,1b a
⎩⎨
⎧-=-=.1,1b a
当a=1，b=1时，b a a b +
=1+1=2 当a=-1，b=-1时，
b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、
c 、
d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数
的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.
例2 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求的值. 解 将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.
练习：
,0146422
222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a
三、因式分解法
例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证 由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0， 所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ． 所以
ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．
例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1
∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0
当a=-1，b=-1时，a+b=-2
[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。
另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。
练习：
证：))(()()()()(2
2333c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++
四.换元
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0
即(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
练习：求证：
2
2)1
(
1
)2
(
2-
-
+
=
-
+
-
+
-
+ab
b
a
ab
b
a
ab
b
a）
（
）
（
2．比较法
a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．
例3 求证：
分析用比差法证明左-右=0．本例中，
这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．
证因为
所以
所以
说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．
全不为零．证明：
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
同理
所以
所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
3．分析法与综合法
证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证
a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证ab=ac+bc，
只要证c(a+b)=ab，
只要证练习：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
,0
,0
c
b
a
b
a
c
a
c
b
abc
c
b
a
-
+
+
-
+
+
-
+
≠
=
+
+求
且
已知
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解令
则有x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.。