13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
10017a m 999,而1 m 16,
所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.
两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a b，求ab ba.
ab ba能被7整除，即(10a b)(10b a) 9(a b)能被7整除.所
以只能有a b7，那么ab可能为92和81，验算可得
当ab92时，ba29满足题目要求，ab ba92 29 2668
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的 余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以
23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和 再除以c的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4，故
23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数， 即2.
有a—b=mk,k是整数，即m|(a—b)
例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则
20-8一定能被2整除
【模块：三大余数定理的应用】
【例1】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，
求这个数•
【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数
分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余
25，那么n=
258大于8的约数•显然，n不
能大于63•符合条件的只有43.
【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒
乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打
了多少盘？
126，173，193除以3的余数分别为2，1o那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,1两两相加除以3即可。显然126运动员打5
数论之同余问题
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目 难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的 奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定 理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理）， 知识点拨：
三大余数定理：
1.余数的加法定理
仃 小于70的约数，只可能是29和58,10 58 1…52,
52 50，所以除数不是58.
70 29 2……12，110 29 3……23，160 29 5……15，12 23 15 50， 所以
除数是29
【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那 么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，
我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，
则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a斗)(mod m)，那么一定
【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个 乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那
么这三种物品剩下的数量相同•请问学校共有多少
个班？
所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118 67 51和67 33 34
的公约数，所求答案为17.
（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511,
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除6除以5的余数分别是3和1，所以23X16除以5的余数等于3X仁3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积 再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以
23X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2.
除以7的余数是4 1 5•
【巩固】（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995,
1998,2000,2001,2003中，若其中几个数的和被
9除余7,则将这几个数归为一组•这样的数组共
有组.
【解析】1 995,1998,2000,2001,2003除以9的余
数依次是6,0,2,3,5.
所以这样的数组共有下面4个：2000,2003
20032的和除以7的余数是
别是2,4,1,2,4,1,2,4,1，…,2的个数 是3的倍数时，用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2;2的个数是3
所以22003除以7余4•又两个数的积除以7的余数, 与两个数分别除以7所得余数的积相同•而2003除以7余1，所以20032除以7余1•故22003与20032的和
盘是最多的。
小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词 典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是
其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本， 丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成 语大词典》的定价是•
六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为 甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们 五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1.易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语 大词典》的定价是(141718 21 26) 3 32(兀).