（1）当 α=15°时，过点 A′作 A′C∥ AB，如图 1，判断 A′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理 由． （2）如图 2，当 α= °时，BA′与半圆 O 相切．当 α= °时，点 O′落在 上． （3）当线段 BO′与半圆 O 只有一个公共点 B 时，求 α 的取值范围． 【答案】（1）A′C 与半圆 O 相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α ＜90°． 【解析】 试题分析：（1）过 O 作 OD⊥A′C 于点 D，交 A′B 于点 E，利用含 30°角的直角三角形的性
∵ α=15°，A′C∥ AB， ∴ ∠ ABA′=∠ CA′B=30°，
∴ DE= A′E，OE= BE，
∴ DO=DE+OE= （A′E+BE）= AB=OA， ∴ A′C 与半圆 O 相切； （2）当 BA′与半圆 O 相切时，则 OB⊥BA′，
∴ ∠ OBA′=2α=90°， ∴ α=45°， 当 O′在 上时，如图 2，
（3）若 OA=1，sinD= 1 ，求 AE 的长． 3
【答案】（1）证明见解析；（2） 2
【解析】
分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出 AD⊥AB 即可证明 DA 是⊙O 切线； （2）由∠ DAC=∠ DCE，∠ D=∠ D 可知△ DEC∽ △ DCA； （3）由题意可知 AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知 AD=2，故此可得到
DC2=DE•AD，故此可求得 DE 的长，于是可求得 AE 的长． 详解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ ACB=90°，∴ ∠ CAB+∠ B=90°．
∵ ∠ DAC=∠ B，∴ ∠ CAB+∠ DAC=90°，∴ AD⊥AB． ∵ OA 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线； （2）∵ OB=OC，∴ ∠ OCB=∠ B． ∵ ∠ DCE=∠ OCB，∴ ∠ DCE=∠ B． ∵ ∠ DAC=∠ B，∴ ∠ DAC=∠ DCE． ∵ ∠ D=∠ D，∴ △ CED∽ △ ACD；
点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质
和判定，证得△ DEC∽ △ DCA 是解题的关键．
6．如图，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿 PQ 排成一列， 所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△ A1B1C1 的顶点 A1 与点 P 重合，第二个 △ A2B2C2 的顶点 A2 是 B1C1 与 PQ 的交点，…，最后一个△ AnBnCn 的顶点 Bn、Cn 在圆上．如 图 1，当 n=1 时，正三角形的边长 a1=_____；如图 2，当 n=2 时，正三角形的边长 a2=_____；如图 3，正三角形的边长 an=_____（用含 n 的代数式表示）．
(2)设△ A1B1C1 的高为 h，则 A2O＝1－h，连结 B2O，设 B2C2 与 PQ 交于点 F，则有 OF＝2h－ 1.
质可求得 DE+OE= A′B= AB=OA，可判定 A′C 与半圆相切； （2）当 BA′与半圆相切时，可知 OB⊥A′B，则可知 α=45°，当 O′在 上时，连接 AO′，则
可知 BO′= AB，可求得∠ O′BA=60°，可求得 α=30°； （3）利用（2）可知当 α=30°时，线段 O′B 与圆交于 O′，当 α=45°时交于点 B，结合题意可 得出满足条件的 α 的范围． 试题解析：（1）相切，理由如下： 如图 1，过 O 作 OD 过 O 作 OD⊥A′C 于点 D，交 A′B 于点 E，
定理求出正三角形的边长 a2 ；（3）设 PQ 与 Bn Cn 交于点 F，连接 Bn O，得出 OF= A1 F-
O A1 ，用含 an 的代数式表示 OF，在△ O Bn F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长 an．
本题解析：
(1)易知△ A1B1C1 的高为 3 ，则边长为 3 ， 2
∴ a1＝ 3 .
∵ EC 与⊙O 切点 C， ∴ OC⊥EC， ∴ ∠ OCE=90°， ∵ 点 CD 是半圆 O 的三等分点，
∴
，
∴ ∠ DAC=∠ CAB，
∵ OA=OC，
∴ ∠ CAB=∠ OCA，
∴ ∠ DAC=∠ OCA，
∴ AE∥ OC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠ AEC+∠ OCE=180°，
∴ ∠ AEC=90°；
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过 M 作 MT⊥BC 于 T 连 BM，由垂径定理可求出 BT 的长，再由勾股定理即可求出 BM 的长； （2）连接 AE，由圆周角定理可得出∠ AEC=∠ ABC，再由 AAS 定理得出△ AEH≌ △ AFH，进 而可得出结论； （3）先由（1）中△ BMT 的边长确定出∠ BMT 的度数，再由直角三角形的性质可求出 CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形 AFCG 为平行四边形，进而可求出答案． 【详解】 （1）如图（一），过 M 作 MT⊥BC 于 T 连 BM， ∵ BC 是⊙O 的一条弦，MT 是垂直于 BC 的直径，
∵ E C ，△ CBD∽ △ EBO.
∴ BD CD BO EO
∴
EO
25
.
2
∵ OE∥ BD，CO=OD，
∴ CF=FB.
∴ OF 1 BD 2 . 2
∴ EF OF 21 2
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，过点 C 作⊙O 的切线交 AD 的 延长线于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 H，连接 DC，AC． （1）求证：∠ AEC=90°； （2）试判断以点 A，O，C，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若 DC=2，求 DH 的长．
∴ BT=TC= 1 BC=2 3 ， 2
∴ BM= 12 4 =4；
（2）如图（二），连接 AE，则∠ AEC=∠ ABC， ∵ CE⊥AB， ∴ ∠ HBC+∠ BCH=90° 在△ COF 中， ∵ ∠ OFC+∠ OCF=90°， ∴ ∠ HBC=∠ OFC=∠ AFH， 在△ AEH 和△ AFH 中，
【答案】 3
【解析】
8 3 4n 3
13
1 3n2
分析：（1）设 PQ 与 B1C1 交于点 D，连接 B1O ，得出 OD= A1D -O A1 ，用含 a1 的代数式表
示 OD，在△ O B1 D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a1 ；（2）设 PQ 与 B2 C2 交于
点 E，连接 B2 O，得出 OE= A1 E-O A1 ，用含 a2 的代数式表示 OE，在△ O B2 E 中，根据勾股
连接 AO′，则可知 BO′= AB， ∴ ∠ O′AB=30°， ∴ ∠ ABO′=60°， ∴ α=30°， （3）∵ 点 P，A 不重合，∴ α＞0， 由（2）可知当 α 增大到 30°时，点 O′在半圆上， ∴ 当 0°＜α＜30°时点 O′在半圆内，线段 BO′与半圆只有一个公共点 B； 当 α 增大到 45°时 BA′与半圆相切，即线段 BO′与半圆只有一个公共点 B． 当 α 继续增大时，点 P 逐渐靠近点 B，但是点 P，B 不重合， ∴ α＜90°， ∴ 当 45°≤α＜90°线段 BO′与半圆只有一个公共点 B． 综上所述 0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°． 考点：圆的综合题．
【答案】（1）证明见解析； （2）四边形 AOCD 为菱形； （3）DH=2 ．
【解析】 试题分析：（1）连接 OC，根据 EC 与⊙O 切点 C，则∠ OCE=90°，由题意得
，∠ DAC=∠ CAB，即可证明 AE∥ OC，则∠ AEC+∠ OCE=180°，从而得出 ∠ AEC=90°；
（2）四边形 AOCD 为菱形．由（1）得
3．如图，CD 为⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，连接 BC、BD，过点 B 的切线 AE 与 CD 的延长 线交于点 A，∠AEO ∠C ，OE 交 BC 于点 F. （1）求证：OE∥ BD；
（2）当⊙O 的半径为 5， sin DBA 2 时，求 EF 的长. 5
【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为 21 2
（2）四边形 AOCD 为菱形．理由是：
∵
，
∴ ∠ DCA=∠ CAB，
∴ CD∥ OA，
又∵ AE∥ OC，
∴ 四边形 AOCD 是平行四边形，
∵ OA=OC， ∴ 平行四边形 AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接 OD．
∵ 四边形 AOCD 为菱形， ∴ OA=AD=DC=2， ∵ OA=OD， ∴ OA=OD=AD=2， ∴ △ OAD 是等边三角形， ∴ ∠ AOD=60°， ∵ DH⊥AB 于点 F，AB 为直径， ∴ DH=2DF， 在 Rt△ OFD 中，sin∠ AOD= ， ∴ DF=ODsin∠ AOD=2sin60°= ， ∴ DH=2DF=2 ． 考点：1.切线的性质 2.等边三角形的判定与性质 3.菱形的判定与性质 4.解直角三角形． 5．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 为圆上一点，点 D 在 OC 的延长线上，连接 DA， 交 BC 的延长线于点 E，使得∠ DAC=∠ B． （1）求证：DA 是⊙O 切线； （2）求证：△ CED∽ △ ACD；
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M 交 x 轴于 B、C 两点，交 y 轴于 A，点 M 的纵坐标为 2．B（﹣3 3 ，O）， C（ 3 ，O）．
（1）求⊙M 的半径； （2）若 CE⊥AB 于 H，交 y 轴于 F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求 AF 的长．
AFH AEH ∵ AHF AHE ，
AH AH
∴ △ AEH≌ △ AFH（AAS）， ∴ EH=FH； （3）由（1）易知，∠ BMT=∠ BAC=60°， 作直径 BG，连 CG，则∠ BGC=∠ BAC=60°， ∵ ⊙O 的半径为 4， ∴ CG=4， 连 AG， ∵ ∠ BCG=90°， ∴ CG⊥x 轴， ∴ CG∥ AF， ∵ ∠ BAG=90°， ∴ AG⊥AB， ∵ CE⊥AB， ∴ AG∥ CE， ∴ 四边形 AFCG 为平行四边形， ∴ AF=CG=4．