平面向量1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、 向量的表示方法（1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB ，如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB .（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a，b … 3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB |、｜a｜4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作a ∥b5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x6、对于任意非零向量的单位向量是.7、向量的加法（1）三角形法则设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC对于零向量与任意向量a的和有a a a =+=+00（2）平行四边形法则已知两个不共线的向量a，b ，做,AB a BC b ==，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a+b .当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．8、向量加法的运算律（1）交换律 a +b =b +a（2）结合律 (a +b )+c =a +(b +c )9、向量的减法)(b a b a-+=- 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 图：10、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量. 记作a- （1）)(a --=a ，即a 与a-互为相反向量；（2）若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 ；（3）a +(a -)=(a -)+a =0 ；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有AB = —BA,即AB 和- BA 互为相反向量11、已知向量α，b ，则| |α|-|b| ||α|| b|12、向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）a a⋅=λλ；（2）当0>λ时， a λ与a同向当0<λ时， a λ与a异向当0=λ或a =0时，0 =a λ，方向是任意的13、向量数乘的运算律（1） λ(μa ) =(λμ)a（2）(λ+μ) a =λa +μa（3）λ（a +b ）=λa+λb（4）（—λa ）= —（λa ）=λ（—a） λ（a —b ）=λa-λb14、向量共线判定定理当向量a ，对于向量b ，如果有一个实数λ，使b =aλ，那么a b 共线.向量b 与向量a （a ）共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b 以及任意实数λ、12 恒有λ（1a 2b ）=λ1a+λ2b16、平面向量的基本定理如果21,e e是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面所有向量的一组基底17、ab 两向量夹角围[0]0 ab 同向 图ab 同向 a b 垂直，记为ab18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量 19、平面向量的坐标表示（1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面的的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使a =x i+y j ，则把有序数对（x ，y ）叫做向量a的坐标。

（2）坐标表示在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a=（x ，y ）叫做向量的坐标表示。

（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） 0=（0,0）20、若()()1122,,,a x y b x y ==和实数λ （1） ()1212,a b x x y y ±=±±（2）λa =(λx 1, λy 1)（3） 若()()2211,,,y x B y x A ，则AB =OB-OA=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1) 21、向量平行条件（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，1221//0a b x y x y ⇔-= （2）若()()1122,,,a x y b x y ==，如果b 不平行于坐标轴，即x 2y 2，则a //b即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x 2·y 2）22、向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 其中θ是a 与b 的夹角，︱a ︱cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影。

规定00a ⋅= 23、数量积的几何意义a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ的乘积24、a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ （1）a b⊥ a·b = 0（2）a b 同向时 a·b =︱a ︱·︱b ︱ a b 反向时 a·b = —︱a ︱·︱b ︱（3）22||a a a a ⋅== 或︱a︱==（4）cosθ=（5）|a·b |︱a ︱·︱b ︱25、向量数量积的运算律 （1）交换律：a b b a ⋅=⋅（2）结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈（3）分配律：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ why ？ 前者表示与a共线的向量，后者表示与向量c 共线的向量，而a与c 不一定共线。

（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =026、平面向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y +27、垂直设两个非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b⊥02121=⋅+⋅y y x xa ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x28、设a=（x ，y ），则︱a ︱=设A=（x 1，y 1） B=（x 2，y 2），则AB =29、已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++ （可用此公式求两向量夹角）当1212x x y y +，θ，π];当1212x x y y +，θ，）；当1212x x y y +θ=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=180030、向量a的单位向量的坐标表示 a==（x ，y ）·+a 0 为a的单位向量31、对于求直线L 1：A 1 x+B 1y+C 1=0 与直线L 2：A 2 x+B 2y+C 2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L 1 、L 2分别平行的向量m =（A 1，B 1），n =（A 2，B 2），设向量m 、 n 的夹角为cos θ==当cos θ<0 时，直线L 1 L 2夹角等于 π- 锐角当cos θ>0 时，直线L 1 L 2夹角等于32、三角形面积公式S = 可利用夹角公式求出sinC33、=|a|（a）==+34、证三点共线35、直线L 的向量参数方程式 运用2.2的例一设A 、B 是直线L 上任意两点，O 是L 外一点，则对于L 上任一点P ，存在实数t ，是向量OP=（1-t ）OA+tOB当t=时，即P 为AB 中点时，OP=(OA+OB)正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。

则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。

[定理变形(3)相关结论:余弦定理如上图所示，△ABC，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：三角形面积1.海伦公式:解释:假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由以上公式求得，而公式里的p为半周长。

2.，[R为外接圆半径]。