2019年高考数学理科数学导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线eln xy a x x 在点（1，ae ）处的切线方程为y=2x+b ，则A ．e 1a b，B ．a=e ，b=1 C ．1e 1ab，D ．1e a，1b【答案】D 【解析】∵eln 1,xy a x ∴切线的斜率1|e 12x k y a ，1e a，将(1,1)代入2y xb ，得21,1bb.故选D ．2．【2019年高考天津理数】已知a R ，设函数222,1,()ln ,1.xax a x f x x a x x 若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．0,1B ．0,2C ．0,eD ．1,e【答案】C 【解析】当1x时，(1)12210f a a 恒成立；当1x 时，22()22021xf x x ax a ax 恒成立，令2()1xg x x ，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x xxx11122(1)2011xx x x，当111xx，即0x 时取等号，∴max2()0ag x ，则0a.当1x时，()ln 0f x x a x，即ln x ax恒成立，令()ln x h x x，则2ln 1()(ln )x h x x ，当e x 时，()0h x ，函数()h x 单调递增，当0e x时，()0h x ，函数()h x 单调递减，则e x 时，()h x 取得最小值(e)e h ，∴min()e ah x ，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3．（2019浙江）已知,a bR ，函数32,0()11(1),032x xf x x a x ax x．若函数()yf x ax b 恰有3个零点，则A ．a<–1，b<0 B ．a<–1，b>0C ．a>–1，b<0 D ．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥０时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx3（a+1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx3（a+1）x 2﹣b ，2(1)y xa x ，当a+1≤０，即a ≤﹣1时，y ′≥０，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴＜0且＞＜，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a+1）3，则a>–1，b<0. 故选C ．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy xx 在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y 【解析】223(21)e 3()e3(31)e ,xxxyx xx xx 所以切线的斜率0|3xky ，则曲线23()e xyxx 在点(0,0)处的切线方程为3yx ，即30xy ．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)yxx x 上的一个动点，则点P 到直线0xy 的距离的最小值是▲　.【答案】4 【解析】由4(0)yxxx，得241yx，设斜率为1的直线与曲线4(0)y x xx切于004(,)x x x ，由2411x得02x （02x 舍去），∴曲线4(0)y xxx上，点(2,32)P 到直线0xy的距离最小，最小值为22232411.故答案为4．6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲　.【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点00,A x y ，则00ln y x .又1yx，当0xx 时，01yx ，则曲线ln y x 在点A 处的切线为0001()y y xx x ，即0ln 1x yx x ，将点e,1代入，得e 1ln 1x x ，即00ln e x x ，考察函数ln H xx x ，当0,1x 时，0H x ，当1,x时，0H x，且ln 1H xx ，当1x时，0,H x H x 单调递增，注意到ee H ，故00ln e x x 存在唯一的实数根0e x ，此时01y ，故点A 的坐标为e,1.7．【2019年高考北京理数】设函数ee xxf x a （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a=________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】1,0【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x 可得a 的取值范围. 若函数e e xx f xa 为奇函数，则,f x f x 即eeeexxxxa a ，即1ee0xxa 对任意的x 恒成立，则10a ，得1a.若函数ee xxf xa 是R 上的增函数，则() ee0xxf x a 在R 上恒成立，即2e xa 在R 上恒成立，又2e0x，则0a ，即实数a 的取值范围是,0.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x ，()f x 为()f x 的导数．证明：（1）()f x 在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）设()()g x f 'x ，则1()cos 1g x xx，21sin ())(1x'x g x .当1,2x 时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x 在1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x时，()0g'x ；当,2x 时，()0g'x .所以()g x 在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()g x 在1,2存在唯一极大值点，即()f 'x在1,2存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,).（i ）当(1,0]x时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)单调递增，而(0)0f '，所以当(1,0)x时，()0f 'x ，故()f x 在(1,0)单调递减，又(0)=0f ，从而0x 是()f x 在(1,0]的唯一零点.（ii ）当0,2x时，由（1）知，()f 'x 在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f '，02f '，所以存在,2，使得()0f '，且当(0,)x 时，()0f 'x ；当,2x 时，()0f 'x .故()f x 在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f，所以当0,2x 时，()0f x .从而，()f x 在0,2没有零点. （iii ）当,2x时，()0f 'x ，所以()f x 在,2单调递减.而02f，()0f ，所以()f x 在,2有唯一零点.（iv ）当(,)x 时，ln(1)1x ，所以()f x <0，从而()f x 在(,)没有零点.综上，()f x 有且仅有2个零点. 9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数11ln x f x xx .（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy 的切线.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x xx ，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f （e ）=e 110e 1，22222e 1e3(e )20e1e1f ，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x ，1111111()ln ()01x f x f x x x ，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为ln 01ex x ，故点B （–ln x 0，1x ）在曲线y=e x上．由题设知0()0f x ，即0001ln 1x x x ，故直线AB 的斜率00000111ln 111ln 1x x x x x kx x x x x x ．曲线y=e x在点001(ln ,)B x x 处切线的斜率是1x ，曲线ln yx 在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ，所以曲线ln y x 在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y=e x的切线．10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x xaxb .（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x xax x x a ．令()0f x ，得x=0或3a x.若a>0，则当(,0),3a x时，()0f x ；当0,3a x 时，()0f x ．故()f x 在(,0),,3a 单调递增，在0,3a 单调递减；若a=0，()f x 在(,)单调递增；若a<0，则当,(0,)3a x 时，()0f x ；当,03a x 时，()0f x ．故()f x 在,,(0,)3a 单调递增，在,03a 单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤０时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b ，21a b ，即a=0，1b．（ii ）当a ≥３时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b，b=1，即a=4，b=1．（iii ）当0<a<3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a afb ，最大值为b 或2a b ．若3127ab ，b=1，则332a ，与0<a<3矛盾.若3127ab，21a b ，则33a或33a 或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，1b或a=4，b=1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x xxx ．（Ⅰ）求曲线()y f x 的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x时，求证：6()xf x x ；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a aR ，记()F x 在区间[2,4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【解析】（Ⅰ）由321()4f x xxx 得23()214f x xx .令()1f x ，即232114xx ，得0x 或83x.又(0)0f ，88()327f ，所以曲线()y f x 的斜率为1的切线方程是y x 与88273yx，即yx 与6427yx.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x .由321()4g x xx 得23()24g'x xx .令()0g'x 得0x 或83x.(),()g'x g x 的情况如下：x2(2,0)8(0,)3838(,4)34()g'x ()g x 606427所以()g x 的最小值为6，最大值为0.故6()0g x ，即6()x f x x .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a 时，()(0)|(0)|3M F g a a a ；当3a 时，()(2)|(2)|63M F a g a a；当3a时，()3M a .综上，当()M a 最小时，3a .12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x 为f x 的导函数．（Ⅰ）求f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x时，证明()()02f xg x x；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x 在区间2,242nn内的零点，其中n N ，证明20022sin c s eo nnnx x x ．【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )xf 'x x x ．因此，当52,244xkk()k Z 时，有sin cos x x ，得()0f 'x ，则f x 单调递减；当32,244xkk()k Z 时，有sin cos xx ，得()0f 'x ，则f x 单调递增．所以，f x 的单调递增区间为32,2(),()44kkkf x Z 的单调递减区间为52,2()44kkk Z ．（Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x ．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )xg x x x ，从而()2e sin xg'x x ．当,42x时，0()g'x ，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x．因此，h x 在区间,42上单调递减，进而()022h x hf．所以，当,42x时，()()02f xg x x．（Ⅲ）证明：依题意，10n n u x f x ，即cos e 1nx nx ．记2nn y x n ，则,42ny ，且22e cos ecos 2e nn y x nnn n nf y y x n n N ．由20e1nnf y f y 及（Ⅰ），得0n y y ．由（Ⅱ）知，当,42x时，()0g'x ，所以g x 在,42上为减函数，因此004ngy gyg．又由（Ⅱ）知，02n nnf yg y y ，故22220002sin cos sin c e e eeos ennnnn ny nn f y y g y g y g y y y x x ．所以，20022sin c s eo nnnx x x ．13．【2019年高考浙江】已知实数0a，设函数()=ln 1,0.f x a xx x（1）当34a时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex均有(),2x f x a 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a时，3()ln 1,04f x x x x ．31(12)(211)()42141x x f 'x xxx x，所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．（2）由1(1)2f a，得204a．当204a 时，()2x f x a等价于2212ln 0x x x aa．令1t a，则22t．设2()212ln ,22g t txt xx t，则211()(1)2ln x g t x tx xx．（i ）当1,7x 时，1122x，则()(22)84212ln g t g x xx ．记1()4221ln ,7p x xxx x，则2212121()11x x x x p'x xxx x x (1)[1(221)]1(1)(12)x x xx x xx x .故x171(,1)71(1,)()p'x 0 +()p x 1()7p 单调递减极小值(1)p 单调递增所以，()(1)0p x p ．因此，()(22)2()0g t g p x ．（ii ）当211,e 7x时，12ln (1)()12x xx g t g xx…．令211()2ln (1),,e 7q x x x x x，则ln 2()10xq'x x，故()q x 在211,e 7上单调递增，所以1()7q x q,．由（i ）得，127127(1)07777qp p ．所以，()<0q x ．因此1()()102q x g t gxx …．由（i ）（ii ）知对任意21,ex ，[22,),()0t g t …，即对任意21,ex，均有()2x f x a ,．综上所述，所求a 的取值范围是20,4．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a=b=c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b=c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c ,，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．【解析】（1）因为abc ，所以3()()()()()f x x a x b x c x a ．因为(4)8f ，所以3(4)8a ，解得2a ．（2）因为b c ，所以2322()()()(2)(2)f x xa xb xa b xb a b x ab ，从而2()3()3a b f 'x x b x ．令()0f 'x ，得x b 或23a bx．因为2,,3a ba b 都在集合{3,1,3}中，且a b ，所以21,3,33a ba b．此时2()(3)(3)f x xx ，()3(3)(1)f 'x x x ．令()0f 'x ，得3x 或1x ．列表如下：x (,3)3(3,1)1 (1,)()f 'x +0 –0 +()f x 极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f ．（3）因为0,1ac ，所以32()()(1)(1)f x x xb x xb xbx ，2()32(1)f 'x xb x b ．因为01b ，所以224(1)12(21)30b b b ，则()f 'x 有2个不同的零点，设为1212,x x x x ．由()0f 'x ，得22121111,33b b b b b b x x ．列表如下：x 1(,)x 1x 12,x x 2x 2(,)x ()f 'x +0 –0 +()f x 极大值极小值所以()f x 的极大值1M f x ．解法一：321111(1)M f x xb xbx 221111211(1)[32(1)]3999bb x b b b xb x b x 23221(1)(1)2127927b b b b b bb 23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b (1)24272727b b ．因此427M．解法二：因为01b ，所以1(0,1)x ．当(0,1)x时，2()()(1)(1)f x x xb x x x ．令2()(1),(0,1)g x x x x，则1()3(1)3g'x xx ．令()0g'x ，得13x．列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g'x +0 –()g x 极大值所以当13x时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g．所以当(0,1)x 时，4()()27f xg x ，因此427M．。