蒙日圆定理(解析几何
证法)
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蒙日圆定理
（纯解析几何证法）
蒙日圆定理的内容：
椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

如图，设椭圆的方程是22
221x y a b
+=。

两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。

求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。

证明：
若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：
(),special P a b ±±
(1)
它必定在圆2222x y a b +=+上。

现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。

可设两条切线方程如下：
:PM y kx m =+
(2)
1
:PN y x n k
=-+
(3)
联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为：
()222,1
1n m k nk m P k k -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭
(4)
从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：
()22
22
222222111
n m k nk m OP k k n k m k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+=
+
(5)
3
现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得：
22222221210k km m x x a b b b ⎛⎫⎛⎫
+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(6)
由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化
简后可得：
()22
22
2211b m m b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
(7)
对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得：
()22
222
21b n k n b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
(8)
为方便起见，令：
22222,,,,a A b B m M n N k K =====
(9)
这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出：
M B AK =+
(10) A
N B K
=+
(11)
将(10)和(11)代入(5)，就得到：
2
221
NK M OG A B a b K +==+=++
(12)
证毕。