高联难度平面几何100题二〇一七年八月目录第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

求证：PCE PCD ∠=∠。

第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。

AEB第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。

求证：ACD DPE ∠=∠2。

AB第四题：证明线与圆相切已知：ABCA，AD切⊙ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC∠90∆中，︒=的对称点，BE∆AY⊥于Y，X是AY中点，延长BX交⊙ABC于J，求证：BD切AJD 外接圆。

BD第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。

求证：AC PQ 。

PD第六题：证明线段相等已知：BC、BD是⊙O切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆上，J离B 较近，DF=。

AODE⊥于E，交AB于F，AC交DE于G，求证：FGA第七题：证明线段为比例中项已知ABC∆有相∆与ABC ∆中，BCAC=，M是AB的中点，FG经过点M，且CFG同的内心。

求证：GM2。

=AM⨯FMC第八题：证明垂直已知：ABC∠，D在BC上，ACDF⊥于F，AB ∆为非直角三角形，AD平分BACDE⊥于E，CE交BF于P。

求证：BCAP⊥。

B第九题：证明线段相等过圆O外一点P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，过劣弧CD上一点E作圆O的另一条切线分别交PC、PD于A、B，连结OE交CD于点N，连结PN交AB于点M。

求证：MBMA 。

P已知PA、PB是⊙O切线，DE是过C的切线，D、E分别在AP、PB上，ABCF⊥于F，连接DF、EF。

求证：EFC∠DFC∠=设PAB是圆O的割线，PC是切线，CD是圆O的直径，DB、OP相交于E。

求证：AC 。

CEP第十二题：证明线段相等设C、D是以O为圆心AB为直径的半圆上两点，过B做圆O的切线交CD于P，直线PO交直线CA、AD分别于E、F。

求证: OFOE 。

第十三题：证明角相等如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，且BC DE //，BE 、CD 交于点F ，BDF ∆的外接圆⊙O ，与CEF ∆的外接圆⊙P 交于点G ，求证：CAG BAF ∠=∠。

第十四题：证明中点如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C，CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E，连接DE交AB于F，求证：F为DE中点。

第十五题：证明线段的二次等式如图，半径不相等的两圆⊙O、⊙P交于A、B两点，过A的直线CD分别交⊙O、⊙P于C、D，CB延长线交⊙P于F，DB延长线交⊙O于E，过A作CD垂线交EF中垂线于G，求证：AD2=2+EGAG⋅ACC第十六题：证明角平分如图，ABCEF//，交⊙∆内接于⊙O，D为BC中点，AD交⊙O于E，过E作BC∠。

=O于F，过C作ACAGC∠CG⊥，交AE于G。

求证：FGC第十七题：证明中点如图，ABCIE//交BC于E，过E作⊙I切线， 内切圆⊙I切BC于D，过I作AD分别交AB、AC于F、G。

求证：E为FG中点。

A第十八题：证明角相等如图，如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q 于C、D，E为BA延长线上一点，EC交⊙P于F，ED交⊙Q于G，AH平分FAG∠交FG于H。

求证：GDHFCH∠∠。

=F第十九题：证明中点如图，⊙O为ABC∠的外∆的内心和一个旁心，BAC ∆外接圆，I、E分别为ABC角平分线交BC延长线于D，DEIF⊥于F，交⊙O于G。

求证：G为IF中点。

第二十题：证明线段相等如图，在锐角ABC∠，F是BC的中点，BE、CD是高。

G、H分别>∆中，CB∠是FD、FE的中点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。

求证：IFIA=B第二十一题：证明垂直如图，D是ABC∠，⊙O过点B、D分别交AB、AD=∆边BC上一点，ABDDAC∠于E、F，直线BF交DE于G，M是AG中点。

求证：AOCM⊥。

C第二十二题：证明角相等如图，如图，CD 为⊙O 直径，PC 、PE 分别切⊙O 于C 、E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B ，AC 、BD 交于点F ，DE 交AB 于G ，求证：ADE GFE ∠=∠。

D C如图，O为ABCOF⊥于F，L、M、∆外心，D、E分别为AB、AC上一点，DEN分别为DE、BE、CD中点。

求证：F、L、M、N四点共圆。

如图，ABCAE⊥于E，F为AE中点，DF交⊙I于G，∆内切圆⊙I切BC于D，BC作BCG∆的外接圆⊙O，求证：⊙O、⊙I相切于点G。

B如图，ABC∆内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长CA到F，使得BJAF=，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：CKAG=。

如图，⊙O为ABC∠交⊙O于D，BDOE//交AB于E，∆外接圆，AD平分BACBE===。

GE∆垂心，ADCDGFOF//交AC于F，H为ABCHG//交BC于G，求证：CF如图，四边形ABCD 中，AC AB =，ABD ∆外接圆⊙1O 交AC 于F ，ACD ∆外接圆⊙2O 交AB 于E ，BF 、CE 交于点G ，求证：CDBD CG BG =。

第二十八题：证明角的倍数关系如图，O为ABCDAC∠∠，∠，DCB=∆外心，D为ABC∆内一点，使得DCBDAB∠=EF⊥交CB延长线于F，连接FA、FD、FO，求证：E为AD中点，过E作AD∠2。

=AFD∠OFCF第二十九题：证明三线共点如图，⊙O的内接四边形ABCD，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，EFC的外接圆⊙P交⊙O于G，AG交EF于H，HC交⊙O于I，求证AI、GC、FE 三线共点。

N第三十题：证明平行如图，ABC∆中，D为BC中点，O为外心，H为垂心，E、F分别为AB、AC上一点，使得AFOP//。

∆外心，求证：HD AE=，且D、H、E三点共线，P为AEF第三十一题：证明线段相等如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为四边形内一点，使得ECO∠，=EAB∠∠，交⊙O于F、G两点，求证：EGEF=。

∠，过点E的直线FG平分BECEDC=EBA∠第三十二题：证明四点共圆如图，在ABC∆内部一点，P关于∆中，AD、BE、CF是三条高线，点P为ABCBC、CA、AB的对称点分别为L、M、N，线段AP的中点为G，求证：D、E、G、F四点共圆的充要条件为A、M、L、N四点共圆。

B第三十三题：证明三角形相似如图，⊙1O 、⊙2O 半径分别为1r 、2r ，⊙1O 、⊙2O 交于A 、B 两点，P 为平面上一点，PC 切⊙1O 于C ，PD 切⊙2O 于D ，且21r r PD PC =，求证：PCA ∆∽PBD ∆。

第三十四题：证明角相等如图，平行四边形ABCD中，E为BD上一点，使得ACD∠，AC交ABDECB∠=∆外接圆⊙O于F，连接EF，求证：AFD∠。

=BFE∠第三十五题：证明内心如图，I是ABC∆内心，E为BC中点，F为弧BC中点，EF中点为N，BI中点为M，MN交BC于D，连接AD，求证：M为ABD∆内心。

第三十六题：证明角平分如图，⊙O为ABC∆的垂心，∆的外接圆，AF平分BAC∠交⊙O于F，H为ABCBD⊥于D，ADEABCE⊥于E，AC∆的外接圆⊙P交⊙O于G。

GF交BC于I，求证：IH平分BHC∠。

第三十七题：证明垂直在ABC∆中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，直线FD和AC交于点N，求证：（1）DFOH⊥。

OB⊥；（2）DEOC⊥；（3）MNC第三十八题：证明面积等式如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，︒=∠=∠90AED BAC ，连接BD 、CE ，取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，求证：BDF S ∆=()ACE ADE ABC S S S ∆∆∆++321。

E第三十九题：证明角平分如图，ABC∆中，旁切圆⊙P分别切CB、CA延长线于D、E，旁切圆⊙Q分别切BC、BA延长线于F、G，DE、FG分别交PQ于M、N，BN、CM交于点L，求证：AL平分BAC∠。

第四十题：证明角相等如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、CD上一点，AF、CE交于点G，∆的外接圆⊙P交于点H，连接BG、DH，求证：∆的外接圆⊙O与CFGAEG∠。

=HDAGBA∠B。