x
x
[lim(1
3x )3
]6
x
[lim(1
x
2
)
x 2
]4
e6 e4
x
x
e2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
x 2 )2
1 2
12
2
2
1. 2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e (e 2.71828)
n
n
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1 1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
例4 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
练习题
一、填空题:
1、 lim sinx _________ .
x0 x
2、
sin 2x lim
__________ .
x0 sin 3 x
3、 lim arccot x __________.
x0
x
4、 lim x cot 3x __________ . x0
5、 lim sin x __________ . x 2x
1
6、 lim(1 x) x _________ . x0
7、 lim(1 x )2x _________ . x x
8、 lim(1 1 ) x _________ .
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin2 x 2( x )2 x 2 , 22 2
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
1
5、lim(1 2n 3n )n n
三、利用极限存在准则证明数列
2, 2 2, 2 2 2 ,......的极限存在，并求 出该极限 .
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
第六节 极限存在准则 两个重要极限
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ′称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,来自n2 n n2 1n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x0
)(或
x
M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
x
x
x
(1
1 1
) x
1.
x
e
例5 求 lim(3 x)2x . x 2 x
解1
原式 lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4 e2 .
x
x2
x2
解2
原式=
[(1
3
)
x 3
]6
lim x [(1
x
2
)
x 2
]4
x
lim[(1
3x )3
]6
x
lim[(1
x
2
)
x 2
]4
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2 sin 2
原式 lim x0
x2
x 2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
1 2
sin lim( x0 x
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13
.
C
二、两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
练习题答案
一、1、 ； 5、0；
2、2 ； 3
6、e ；
二、1、2；