(5)
将（5）代入瞬时状态下的连续性方程（1）和动量方 程（2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制 方程如下：
湍流时均流动的控制方程
divu 0
(6)
u '2 u ' v' u ' w' u 1 p div(u u ) vdiv(gradu ) (7a) t x y z x
u p u '2 u ' v' ( u ' w') div( uu ) div( gradu ) Su t x x y z v p u ' v' v' ( v' w') div( vu ) div( gradv) Sv t y x y z
u ' ' v' ' w' ' ( ) div( u ) divgrad t x y z



S

（11）
张量形式的时均输运方程
u i 0 t xi u p i ui uiu j ui ' u j ' S i t xi xi x j x j u j t x j x j u j ' ' S x j
2、湍流的基本方程
无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S方程对 于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流 动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量在x、y和z方向的分量 分别为u、v和w，写出湍流瞬时控制方程如下：
divu 0 u 1 p div(uu) vdiv(gradu) t x v 1 p div(vu) vdiv(gradv) t y w 1 p div( wu) vdiv(gradw) t z
湍流模型及其在CFD中的应用
一个例子
如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源 源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流 动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。 上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。 提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反 过来影响湍流？
一、湍流及其数学描述
j i 2 ) ij j i T ( x x 3 i j Y s T Y s g j Ys DT x j y x j T T T q j c pT T x j T x j



涡的生成与耗散

大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作 用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。 最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机 械能就耗散为流体的热能。


同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡 又不断产生，构成了湍流运动。
湍流是流体力学中的难题
对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是 均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进 行分析。 但实际上，湍流是不均匀的。
(1) (2a)
(2b)
(2c)
定义时均量
为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即 把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动， 二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和 进一步探讨。现在，引入Reynolds平均法，任一变量的时 间平均定义为：
1 t

t t
ui u j ui ' u j ' t x j xi 2 k t ui ij 3 x i
（15）
u i 为时均速度， ij 是“Kronecker delta” 这里， t 为湍流粘度，
外界因素对湍流的影响
某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定 性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直 接影响当地的湍流度。 当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉 动量与当地的湍流有密切的关系。 强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的 存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地 的湍流结构。
湍流流动的两个例子
Smaller Structures
Larger Structures
湍流涡的特点

观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡 （turbulent eddies），简称涡（eddy）。
从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡 叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随 机的。 大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以 与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起 低频脉动的原因； 小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流 场尺度的千分之一量级，是引起高频脉动的原因。
LES方法对计算机内存及 CPU速度要求仍然很高， 但是低于DNS法。
4、Reynolds平均法（RANS）简介
虽然瞬时N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非线 性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端 困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平 均流场的变化，是整体效果。 Reynolds平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S方程， 而是想办法求解时均化的Reynolds方程，这样不仅可以避 免DNS方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用 要求。
u ' v' v'2 v' w' v 1 p div(vu ) vdiv(gradv) (7b) t y y z x
u' w' v' w' w'2 w 1 p div( wu ) vdiv(gradw) (7c) t z y z x
的影响 在此，忽略密度脉动的影响，但考虑平均密度的变化， 写出可压湍流平均流动的控制方程如下 注意，为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉 了表示时均值的上划线符号“—”，如 用υ表示


湍流输运方程组
div( u ) 0 t
时均形式的连续方程
（9）
时均形式的N-S方程，又称 Reynolds时均N-S方程（简称RANS）
2



（10）
w p u ' w' v' w' ( w'2 ) div( wu ) div( gradw) Sw t z x y z


湍流输运方程组
标量的时均输运方程
鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型

最早的湍流数学模型，一百多年前提出的 针对二维边界层问题 把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切应力，模仿 层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了
t uv t
u u vt y y
Reynolds应力与平均速度梯度的关系
时均输运方程的统一形式
u ' ' v' ' w' ' div( u ) div(grad ) S t y z x
(8)
密度脉动的影响

以上是假设流体密度为常数； 但是在实际流动中，密度可能是变化的。
Bradshaw等指出，细微的密度变动并不对流动造成明显
由于就目前的计算能力而言，能够采用的计算网格 的最小尺度仍然比最小涡的尺度要大许多。因此，目前 只能放弃对全尺度范围上涡运动的模拟，而只将比网格 尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小 尺度涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从
而形成了大涡模拟法（LES）。
LES方法的基本思想
用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不 直接模拟小尺度的涡，而小涡对大涡的影响通过近似的 模型来考虑。
湍流的作用


由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分 量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量， 它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由 于湍流流动引起的一种附加剪切应力——影响 动量的输运过程。 湍流的存在使传热和传质通量提高。 由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物 理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的 消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的 强化。
（12）
（13）
（14）
二、湍流的数值模拟方法简介
1、三维湍流数值模拟方法的分类
湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数 值模拟方法。

所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。
非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而 是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提 到的时均性质的 Reynolds方法就是其中的一种典型方法。 根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟 方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。
1、湍流流动的特征
流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的，
相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。 当 Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致 流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界 条件保持不变，流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性 都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.

Reynolds平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。
Reynolds时均法分类
根据Reynolds应力作出的假定或处理的方式不同， 目前常用的湍流模型有两类： Reynolds应力模型